Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Odwzorowania
odwrotnie,wyznaczaćgomożemydlaB⊂Yiotrzymujemy
f11(B)⊂X.Ilustrujetorysunek1.15,naktórymposłużyliśmy
sięwykresemfunkcji(17)f:R→R,f(x)1|x|.
Dlaodwzorowaniaf:N2→N,f(n7k)1n+k,wyzna-
Przykład
czymyobrazzbioruA1{2}×NorazprzeciwobrazzbioruB
liczbparzystych.
f(A)1{f(n7k):(n7k)EA}1{n+k:n12∧kEN}
1{374757...}7
f11(B)1{(n7k)EN:f(n7k)EB}1{(n7k)EN:n+kEB}
1(B×B)∪((N1B)×(N1B)).
Ostatniarównośćwynikazfaktu,żen+kjestliczbąparzystą
wtedyitylkowtedy,gdyobieliczbyniksąparzystelubobie
nieparzyste.
35
1046Odwzorowanief:X→Ynazywamy:
Definicja
surjekcjąlubodwzorowaniemXnaYwtedyitylkowtedy,
gdyPf1Y,tzn.gdy^
V
y1f(x);
yEY
xEX
injekcją
lub
odwzorowaniem
różnowartościowym
wte-
fA
()
y
A
x
dyitylkowtedy,gdyfjestrelacjąlewostronniejednoznaczną,
tzn.gdy
^
(f(x1)1f(x2)⇒x11x2));
(18)
x17x2EX
bijekcjąlubodwzorowaniemwzajemniejednoznacznymwtedy
itylkowtedy,gdyfjestsurjekcjąiinjekcją,tzn.gdy
yEY
^
xEX
V
!y1f(x).
Surjekcjąjesttakieodwzorowanief:X→Y,wktórymzbiór
B
y
f
-1()
B
x
Pfwartościodwzorowanianiejestczęścią,leczcałymzbiorem
Y.Ponieważzbiórwartościjestobrazemdziedziny(Pf1f(X)),
więcwaruneknasurjekcjęmożemyzapisaćwformierówności
f(X)1Y.
Rys01015
Waruneklewostronnejjednoznacznościodwzorowaniafdefi-
niującyinjekcjęrzeczywiścieprzyjmujeformęimplikacjiwystę-
pującejwdefinicji;łatwoprzekonamysięotym,uwzględniając
(1.42)orazprzynależnośćdofpar(x17f(x1))i(x27f(x2)).Le-
wostronnajednoznacznośćodwzorowaniafoznaczawistocieto,
(17)Dlaodwzorowańowartościachliczbowych(Y1R)będziemyuży-
waliczęściejterminu„funkcja”niż„odwzorowanie”.
(18)Wdefinicjimożnawykorzystaćimplikacjęrównoważną:x1/1x2⇒
f(x1)/1f(x2).
