Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.PIERWIASTKI
15
więcciągtenjestograniczonyzdołuprzez0.Korzystającztegooszacowania,
otrzymujemytakże:
nxk+1=((n−1)+
xn
a
k)xk≤nxkj
codowodzi,żeciągtenjestnierosnący.Stądmagranicębn=limkążxk.Prze-
chodzączkdonieskończonościw(1.3),otrzymujemybn=1
n((n−1)bn+I
b
n−1
n
).
Prosteprzekształceniaprowadządobn
n=ajcokończydowód.
Przyjrzyjmysiębliżejtemurozumowaniu.Pozadośćoczywistymirachunkami
ioszacowaniamiużyliśmywnimważnegoargumentu:
każdyograniczonyzdołunierosnącyciągliczbrzeczywistychmagranicę.
Jakzobaczymyniecopóźniej(zadanie1.3)stwierdzeniepowyższejestzakamu-
flowanąinformacjąotym,żezbiór(przestrzeń)liczbrzeczywistychnniemadziur”,
jestzupełny,kompletny.
Czyzupełnośćtajestzupełnieoczywista?Taksięwydaje:oddzieciństwaprzy-
zwyczajanonas(aledoczasówKartezjuszaoczywistetowcaleniebyło),żezbiór
liczbrzeczywistychmożnaprzedstawićjakoprostą,któraprzecieżdziurniema.
Tłumaczononamrównież,żeliczbyrzeczywistemożnaotrzymaćjakogranicecią-
gówliczbwymiernych–takjaktowidzieliśmyprzedchwiląwprzypadkupierwiast-
ka(zob.teżniżej);podobnieteżjestzliczbąπ.Liczbyrzeczywistewięcwidzimy
jakowypełnienie,uzupełnieniezbioruliczbwymiernych,któryraczejjestdziurawy.
Nowłaśnie,skądwiemy,żetenostatnizbiórniejestzupełny,coskądinądsta-
nowigłównypowódnaszegozainteresowanialiczbamirzeczywistymi?Dotychczas
zapewnetłumaczononam,żepowodem,dlaktóregomusimyrozszerzyćzbiórliczb
wymiernychjestto,żeniemożnawnimwykonaćpewnychoperacjialgebraicznych.
Rzeczywiście,naprzykładwświecieliczbwymiernychsymbol√2niemasensu–
inaczejmówiąc,√2niejestliczbąwymierną.Istotnie,gdyby
√2=
m
l
=
2m23m3···qmq
2l23l3···plp
gdziel2jestilościądwójekwrozkładzielnaczynnikipierwszeitd.,topodnosząc
dokwadratuimnożącobiestronyprzezm2,otrzymalibyśmy
22m2+132m3···q2mq=22l232l3···p2lp.
Wobecfaktu,żepolewejstroniemamynieparzystąilośćpotęgdwójki,apoprawej
ichilośćparzystą,przeczyłobytojednoznacznościrozkładunaczynnikiproste.
Popatrzmynatojednakzdrugiejstrony:rozważmyrazjeszczerozumowanie
prowadzącedoistnienian
√a.Jeśliajestliczbąwymierną,towszystkiewyrazycią-
gu(1.3)sąwymierne.Algebrapozostajetakasamaidowodzijegomonotoniczności
