Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.Pierścienie
DEFINICJA3.1.Niepustyzbiór
P
,wktórymokreślonesądwadziała-
nia
®
i
®
,nazywamypierścieniem,jeślispełnionesąwarunki:
1)
P
jestgrupąabelowąwzględemdziałania
®
,
2)działanie
®
jestrozdzielnewzględem
®
,tzn.
v
a
,
b
E
P
;
[
a
®
(
b
®
c
)(
=
a
®
b
)(
®
a
®
c
)
]
lub
v
a
,
b
E
P
;
[
(
b
®
c
)
®
a
=
(
b
®
a
)(
®
c
®
a
)
]
3)działanie
®
jestłączne.
Działanie
®
nazywamydodawaniem,zaś
®
mnożeniem.Pierścień,
wktórymmnożeniejestprzemiennenazywamypierścieniemprzemien-
nym.Jeśliwpierścieniuistniejeelementneutralnymnożenia,toelement
takinazywamyjednościąpierścienia,zaśpierścieńzawierającyjedność
nazywamypierścieniemzjednością.
Element
aE
P
różnyodelementuneutralnego
®
nazywamylewym
(prawym)dzielnikiemzera,gdyistniejeelement
bE
P
różnyodelemen-
tuneutralnego
®
taki,że
a
®
b
=
O
(
b
®
a
=
O
)
,gdzie
O
oznaczaelement
neutralnygrupyaddytywnejzdziałaniem
®
.Elementpierścienia
P
na-
zywamydzielnikiemzera,gdyjestonlewymlubprawymdzielnikiem
zera.Pierścień
P
nazywamypierścieniembezdzielnikówzera,gdyża-
denjegoelementniejestdzielnikiemzera.
Zbiory
Z
,
Q
,
R
zezwykłymdodawaniemimnożeniemjakodziała-
niamisąpierścieniamiprzemiennymizjednością,bezdzielnikówzera.
PRZYKŁAD3.1.Pokazać,żezbiór
Z
(
Q,
R
)zdziałaniami
a
®
b
=
a
+
b
+
1
i
a
®
b
=
a
+
b
+
ab
jestpierścieniemprzemiennym
zjednością.Czyposiadadzielnikizera?
Rozwiązanie
Wprzykładzie2.1.pokazaliśmy,że
Z
zdziałaniem
a
®
b
=
a
+
b
+
1
jest
grupąprzemienną.
✓Rozdzielność:
L
=®
a
(
b
®
c
)
=®
a
(
b
++
c
1
)
=++++|
a
b
c
1
a
(
b
++
c
1
)
=
=++++
a
b
c
1
ab
+
ac
+=
a
2
a
++++
b
c
1
ab
+
ac
,
21
