Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
RozdziałI–Podstawowestrukturyalgebraiczne
PRZYKŁAD2.1.Pokazać,żezbiór
Z
zdziałaniem
a
®
b
=
a
+
b
+
1
jestgrupą.
Rozwiązanie
Pokażemy,żespełnionesąwszystkiewarunkigrupyorazzdefinio-
waneprzekształceniejestwewnętrzne.
✓wewnętrzne:
v,
a
b
E
Z
mamy,że
a
®
b
=
a
+
b
+
1
E
Z
,
✓łączność:
L
=
(
a
®
b
)
®
c
=
(
a
+
b
+
1
)
®
c
=
a
+
b
+
1
+
c
+
1
=
a
+
b
+
c
+
2
,
P
=
a
®
(
b
®
c
)
=
a
®
(
b
+
c
+
1
)
=
a
+
b
+
c
+
1
+
1
=
a
+
b
+
c
+
2
,
L=
P
.
✓przemienność:
a
®
b
=
a
+
b
+
1
=
b
+
a
+
1
=
b
®
a
.
Przemiennośćwartosprawdzićprzedistnieniemelementuneutral-
negoiodwrotnego,ponieważjeżelionazachodzi,toniemusimy
sprawdzaćprzemienności
e
O=
a
a
O
e
oraz
a
O
a
−=
1
a
−
1
O
a
.
✓istnienieelementuneutralnego:
L
=
a
®
e
=
a
+
e
+
1
,
P=
a
,stąd
a
+
e
+
1
=
a
e
=1
−
E
Z
.
✓istnienie
elementu
odwrotnego:
L
=
a
®
a
−
1
=
a
+
a
−
1
+
1
,
P
=e
=
−
1
,stąd
a
+
a
−
1
+
1
=
−
1
a
−
1
=
−
a
−
2
E
Z
.
Naprzykładdlaelementu
a
=
4
elementemodwrotnymjest
a
−
1
=
−
4
−
2
=
−
6
.
Zatemjesttogrupaabelowa.
■
Wzbiorze
Z
n
=
{
0
,
1
,
2
,...,
n
−
1
}
wprowadzamydodawaniemodulo
n
n
oznaczonesymbolem,,
+
33,którekażdejparzeliczbtegozbioruprzypo-
rządkowujeresztęzdzieleniaichzwykłejsumyprzez
n
,np.
18
