Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.Grupy
Działanie
O
określonewzbiorzeniepustym
A
nazywamy:
1)przemiennym,jeśli
v
a
,
b
E
A
;
(
a
O=
b
b
O
a
)
,
2)łącznym,jeśli
v
a
,
b
,
c
E
A
;
[
(
a
O
b
)
O
c
=
a
O
(
b
O
c
)
]
.
DEFINICJA2.2.Niepustyzbiór
G
,wktórymokreślonejestdziała-
nie
O
,nazywamygrupą,jeślispełnionesąwarunki:
1)działanie
O
jestłączne,
2)istniejeelementneutralny
eE
G
,tzn.takiże
3
e
E
G
v
a
E
G
;
(
e
O
a
=
a
O
e
=
a
)
,
3)jeśli
eE
G
jestelementemneutralnym,to
v
a
E
G
3
a
−
1
E
G
;
(
a
O
a
−
1
=
a
−
1
O
a
=
e
)
.
Element
a
−
1
nazywamyelementemodwrotnymdoelementu
a
.
Jeślidodatkowospełnionyjestwarunekprzemienności,togrupęnazy-
wamyprzemiennąlubabelową(odnazwiskanorweskiegomatematyka
Abela).
Mówimy,żezbiór
G
zpewnymdziałaniem
O
(lubpóźniejzpewny-
midziałaniami)tworzypewnąstrukturęalgebraiczną,wtymprzypadku
grupę(późniejpierścień,ciało).
Każdyzezbiorów
Z
,
Q
,
R
zdziałaniemdodawaniajestgrupąabelo-
wą.Łącznośćiprzemiennośćwynikajązwłasnościdodawanialiczb.
Elementemneutralnymjest
0
,odwrotnymdoelementu
a
jest
−
a
.Mó-
wimy,żezbiorytezdziałaniemdodawaniasągrupamiaddytywnymi.
Natomiastzbiory
Q
\
{}
0
i
R
\
{}
0
zmnożeniemnazywamygrupami
multiplikatywnymi.Elementemneutralnymjest
1
,zaśelementemod-
wrotnymdo
a
jest
1
a
.
17
