Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
WzórdeMoivre’a
2.Liczbyzespolone
Przyobliczaniupotęgliczbzespolonychmożnaposłużyćsiętzw.wzoremde
Moivre’a.Wzórtenjestprostąkonsekwencjątwierdzenia2.4.1.
Wniosek2.4.1.Jeśliz=|z|(cosO+jsinO)injestliczbącałkowitą,to
zn=|z|n(cosnO+jsinnO)j
(2.27)
gdziez/=0dlan<0.I
Wniosek2.4.2.DlakażdejliczbyrzeczywistejOikażdejliczbycałkowitejnjest
(cosO+jsinO)n=cosnO+jsinnO.I
(2.28)
Uwaga.Równości(2.27)i(2.28)pozostająteżprawdziwe,gdynjestdowolną
liczbąwymierną.
Przykład204040ZewzorudeMoivre’amamy
(cos2O1jsin2O)
(cos3O+jsin3O)6
5
=
(cos(12O)+jsin(12O))
(cos3O+jsin3O)6
5
=
cos(110O)+jsin(110O)
cos18O+jsin18O
=cos(128O)+jsin(128O)=cos28O1jsin28O.
Przykład204050Korzystajączpostacitrygonometrycznejliczbzespolonychize
wzorudeMoivre’a,otrzymujemy
(1d3+j)5
(11j)2
=
(d2(cos(1π
(2(cos
5π
6+jsin5π
4)+jsin(1π
6)
4)))2
5
=
2(cos(1π
25(cos25π
2)+jsin(1π
6
+jsin25π
6)
2))
=16(cos28π
6
+jsin28π
6)=16(cos2π
3+jsin2π
3)
=16(11
2+j
√3
2)=8(11+jd3).
Przykład204060Liczbyz1iz2zapisaćwpostacikanonicznej,gdzie
z1=(11
2
+j
d3
2)
17
i
z2=(1+jd3
11j)
12
.
Ponieważz1=(11
mamy
2+j
√3
2)
17
=(cos
2π
3+jsin2π
3)
17
,więcwobecwniosku2.4.2
z1=cos
34π
3
+jsin34π
3
=cos(10π+
4
3π)+jsin(10π+
4
3π)
=cos4
3π+jsin4
3π=11
21j
√3
2.
Zrówności1+jd3=2(
1
2+j
√3
2)=2(cos
3+jsinπ
π
3)oraz11j=d2(
√2
1
1j1
√2)=
d2(cos(1
π
4)+jsin(1π
4))iztwierdzenia2.4.1otrzymujemy
1+j√3
11j
=2
√2(cos(
31(1
π
4))+jsin(
π
π
31(1
π
4)))=d2(cos
7π
12+jsin7π
12).
Stądizwniosku2.4.1wynika,że
z2=(d2(cos
7π
12+jsin7π
12))
12
=26(cos7π+jsin7π)=164.
Przykład204070Liczbęz=sinO1jcosOzapisaćwpostacitrygonometrycznej.
Liczbęzchcemyzapisaćwpostaci'z'(cos;+jsin;)='z'(a
|z|+jb
|z|).Możnato
zrobićnadwasposoby.Ponieważ'z'=1icos;=
|z|=sinO=cos(O1
a
π
2)oraz
sin;=b
|z|=1cosO=sin(O1
π
2),więc
z=cos(O1
π
2)+jsin(O1
π
2).
