Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
31
Ćwiczenie204010Każdąznastępującychliczbzapisać
10.11
2+j
√3
2;
15.14d314j;
20.
4+3j;
5
wpostacitrygonometrycznej:
11.4+7j;
16.314j;
21.(11j)
3;
1.5;
4.11j;
7.d21jd2;
12.7111j;
17.
18.2d61j2d3;
1+j
j
;
22.(5+5j)
23.112+5j;
2;
2.16;
5.1+j;
8.d3+j;
13.1+d3j;
3.114j;
6.1313j;
9.11
21j
√3
2;
14.3+3d3j;
19.16+12j;
24.(212j)(1+j).
Zaletypostacitrygonometrycznejliczbyzespolonejuwidaczniająsięprzymno-
żeniu,dzieleniu,potęgowaniuipierwiastkowaniuliczbzespolonych.Załóżmy,
żeznamypostaćtrygonometrycznąliczbziw,np.z=|z|(cosO+jsinO)
iw=|w|(cos;+jsin;).Łatwozauważyć,żeliczbytesąrównewtedyitylko
wtedy,gdymająrównemodułyigdyichargumentyróżniąsięocałkowitą
krotnośćliczby2π.Dlailoczynuliczbziwmamy
zw
=|z||w|(cosO+jsinO)(cos;+jsin;)
=|z||w|((cosOcos;−sinOsin;)+j(sinOcos;+cosOsin;))
=|z||w|(cos(O+;)+jsin(O+;))
=|zw|(cos(O+;)+jsin(O+;))j
cojestpostaciątrygonometrycznąliczbyzwiskądponowniewynika,że„moduł
iloczynujestrównyiloczynowimodułów”,|zw|=|z||w|,idodatkowo,żesuma
argumentówliczbziwjestargumentemiloczynuzw,
arg(z)+arg(w)=arg(zw).
(2.23)
Obieteobserwacjepozwalająuzasadnićpoprawnośćnaszkicowanejnarys.2.12
geometrycznejkonstrukcjiiloczynuzwliczbzespolonychziw.Łatwotakże
zaobserwować,żedlaargumentuodwrotnościliczbyiilorazuliczbzespolonych
mamy
−arg(z)=arg(
1
z)iarg(z)−arg(w)=arg(
w).
z
(2.24)
Stądwynikaponiższetwierdzenie.
Twierdzenie2.4.1.Jeśliz=|z|(cosO+jsinO)iw=|w|(cos;+jsin;),to
zw=|z||w|(cos(O+;)+jsin(O+;))
oraz
w
z
=
|w|
|z|
(cos(O−;)+jsin(O−;))j
(2.25)
(2.26)
gdyw/=0.I
Przykład204030Liczbyz=d3+jorazw=1+jprzedstawićwpostacitrygono-
metrycznej.Następnieznaleźćpostaćtrygonometrycznąkażdejzliczbzwiz
w.
Ponieważ'z'=2,cosO=
√3
2
isinO=1
2,więcO=π
6iz=2(cos
π
6+jsinπ
6).
✻
✐
α
|zw|
♦
⑥
α
Rys.2.12
β
|z|
1
zw
|w|
✍
γ
✼
γ
w
✯
z
✲
Podobnie,'w'=d2,cos;=1
√2
isin;=1
√2
,więc;=π
4iw=d2(cos
π
4+jsinπ
4).
Zatem
zw=2d2(cos(
π
6
+
π
4)+jsin(
π
6
+
π
4))=2d2(cos
5π
12
+jsin
5π
12)
oraz
w
z
=
d2(cos(
2
6
π
1
π
4)+jsin(
π
6
1
π
4))=d2(cos(
1π
12)+jsin(
1π
12)).
