Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
2.Liczbyzespolone
Wniosek2.3.1.Dlakażdejliczbynaturalnejnidowolnychliczbzespolonych
zjz1j...jznjest:
(a)|zn|=|z|ni|z1n|=|z|1n(z/=0);
(b)|z1+z2+...+zn|<|z1|+|z2|+...+|zn|.
Przykład203010Znaleźćmodułliczbyz=
(1+6j)(117j)
(2+j)
2
.
Wobecdefinicji2.3.1itwierdzenia2.3.1mamy
'z'=
'1+6j''117j'
'2+j'
2
=
d12+62d12+(17)2
(d22+12)2
=
d37d50
5
=
d74
1
.
Przykład203020Wyznaczyćzbiórpunktówzspełniającychrównanie
'z+2j'=4'z12j'.
Korzystajączpostacikanonicznejx+jyliczbyzespolonejz,równanie'z+2j'=4'z12j'
możnazapisaćwpostaci
'x+jy+2j'=4'x+jy12j'lubdx2+(y+2)2=4dx2+(y12)2.
Popodniesieniudokwadratuobujegostroniporedukcjiotrzymujemyrównanie15x2+
15y2168y+60=0,czyli
x
2+(y1
34
15)
2
=(
16
15)
2
j
którejestrównaniemokręguośrodkuwpunkcie(0j
34
15)iopromieniudługości
16
15.
r=3
11
z0
2j
Przykład203030Napłaszczyźniezespolonejzaznaczyćzbiórtychliczbzespolonych
z,którespełniająpodanewarunki:
(a)'z+112j'=3;
(b)2Ś'z1113j'Ś4;
(c)'z11'ŚIm(z)+2.
(a)Ponieważ
'z+112j'=3⇔'z1(11+2j)'=3j
Rys.2.6
więcrozważanyzbiórjestzbioremwszystkichpunktówzpołożonychwodległościr=3
odpunktuz0=11+2j.Zatemjesttookrągośrodkuwpunkciez0=11+2j
3j
Rys.2.7
z0
1
r=2
2345
R=4
ipromieniur=3(rys.2.6).
(b)Rozważanyzbiórskładasięztychitylkotychz,dlaktórych
2Ś'z1(1+3j)'Ś4j
czylijesttozbiórtychz,którychodległośćodpunktuz0=1+3jjestliczbązprze-
działu(2;4>.Zatemjesttopierścieńkołowyośrodkuwpunkciez0iopromieniu
wewnętrznymr=2orazpromieniuzewnętrznymR=4(rys.2.7).
(c)Dlaliczbyz=x+jy(gdziexjy∈R)jest
'z11'ŚIm(z)+2⇔'(x11)+jy'ŚIm(x+jy)+2
Rys.2.8
4j
1
2345
⇔d(x11)2+y2Śy+2
⇔y2
(x11)214
4
istądwynika,żerozważanyzbiórjestzbioremwszystkichpunktówz=x+jy,które
leżąnalubnadparaboląy=
(x11)214
4
(rys.2.8).
