Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.DZIAŁANIAALGEBRAICZNE
TWIERDZENIE1020Jeślidziałanie◦jestłącznewzbiorzeX,todowolnyelement
x∈Xmaconajwyżejjedenelementodwrotny.
DOWÓD0Jeślix∈X,ejestelementemneutralnymdziałania◦ijeśliy,y′sąelementami
odwrotnymidoelementuxwzględemdziałania◦,to
(y◦x)◦y′=y′
i
y◦(x◦y′)=y.
Złącznościdziałania◦wynika,żey′=y,awięcelementodwrotnyjestconajwyżejjeden.
DEFINICJA1050Niech+i•będądziałaniamiokreślonymiwzbiorzeX.Mó-
wimy,żedziałanie•jestrozdzielnewzględemdziałania+,gdydladowolnych
x7y7z∈X
x•(y+z)=(x•y)+(x•z)
i
(y+z)•x=(y•x)+(z•x).
Jeżelidziałanie•jestprzemienne,towystarczysprawdzićjednązdwóchrówności
zdef.1.5,abystwierdzićjegorozdzielnośćwzględemdrugiegodziałania.
Przykład1050DladowolnegozbioruXprzez2Xoznaczamyrodzinęwszystkich
podzbiorówzbioruX.Wzbiorze2Xsąokreśloneprzemienneiłącznedziałania
sumy∪iiloczynu∩zbiorów.Wteoriimnogościdowodzisię,żekażdeztychdzia-
łańjestrozdzielnewzględemdrugiego,awięcdladowolnychzbiorówA7B7C∈2X
mamy
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
i
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
Wróćmydookreśleniadziałaniajakofunkcjif:X×X→X.Jakwiemy(zob.
Wstęp),jeśliA⊂X,toobcięcief|(A×A)niemusibyćdziałaniemwewnętrznym
wzbiorzeA.Jeżelijednakf(A×A)⊂A,tof|(A×A)oznaczamytymsamym
symbolem(◦,+lub•),któryzostałużytydladziałaniaf.Będziemywtedy
mówili,żenp.działanie◦określonewzbiorzeXjestdziałaniemwewnętrznym
wpodzbiorzeA.
Mówimy,żewłasnośćdziałania◦wzbiorzeXjestdziedziczna,gdyzacho-
dzidlakażdegopodzbioruA⊂X,dlaktórego◦jestdziałaniemwewnętrznym.
Dziedzicznajesttakawłasność,wktórejdefinicjiwystępujątylkokwantyfikatory
ogólne(dlakażdego...).Użyciekwantyfikatoraszczegółowegowdefinicjiwła-
sności(istniejetakie...)psujezazwyczajjejdziedziczność.
Informacjaodziedzicznościdanejwłasnościdziałaniapozwalanauproszcze-
nierozważańprzyprzejściuzdanegozbiorudojegopodzbioru.
Łączność,przemiennośćirozdzielnośćsąwłasnościamidziedzicznymikaż-
degodziałaniawdowolnymzbiorzeX.Istnienieelementuneutralnegodziałania
orazistnienieelementuodwrotnegododanegoelementuniesądziedzicznepoza
trywialnymiprzypadkami.Oczywiściemożesięzdarzyć,żewłasnośćdziałania
wzbiorzeXniejestdziedziczna,alezachodzidlapewnegopodzbioruA⊂X.
Takiesytuacjewymagająoddzielnegosprawdzenia.
19
