Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ELEMENTYALGEBRYABSTRAKCYJNEJ
DEFINICJA1020Mówimy,żedziałanie◦wzbiorzeXjest:
(a)przemienne,gdydladowolnychx7y∈Xzachodzirównośćx◦y=y◦x,
(b)łączne,gdydladowolnychx7y7z∈Xzachodzix◦(y◦z)=(x◦y)◦z.
Przykład1020Działanieskładaniazprzykł.1.1jestłączne(zob.Wstęp),alenie
jestprzemienne,jeślizbiórXmaconajmniej2elementy.Załóżmy,żea7b∈X
ia/=b.DozbioruXXnależąnastępującefunkcjestałefig:
f(x)=a7
g(x)=b.
Dlatychfunkcjimamyf◦g/=g◦f,bo(f◦g)(a)=a,natomiast
(g◦f)(a)=b.
DEFINICJA1030Elemente∈Xnazywamy:
(a)elementemneutralnymlewostronnymdziałania◦wzbiorzeX,gdydla
każdegox∈X,zachodzie◦x=x,
(b)elementemneutralnymprawostronnym,gdydlakażdegox∈Xmamy
x◦e=x,
(c)elementemneutralnym,gdydlakażdegox∈Xzachodzie◦x=x◦e=x.
Przykład1030ElementemneutralnymskładaniafunkcjiwzbiorzeXXzprzykł.
1.1jestfunkcjałX(identycznośćnazbiorzeX,zob.Wstęp).
TWIERDZENIE1010Dladowolnegodziałania◦wzbiorzeXistniejeconajwyżej
jedenelementneutralnytegodziałania.
DOWÓD0Jeślie7e′∈Xsąelementamineutralnymiwzględemdziałania◦,tozdef.1.3mamy
e◦e′=e′
oraz
e◦e′=e7
czylie=e′,awięcelementneutralnyjestnajwyżejjeden.
DEFINICJA1040Niechebędzieelementemneutralnymdziałania◦wzbiorze
X.Elementy∈Xnazywamyelementemodwrotnymdoelementux∈X
względemdziałania◦,gdy
x◦y=y◦x=e.
Elementodwrotnydoelementuxoznaczamyzwykleprzezx11.
Elementx∈XnazywamyodwracalnymwzbiorzeXwzględemdziałania◦,
gdyistniejeelementodwrotnyx11∈X.
Przykład1040KażdafunkcjawzajemniejednoznacznazezbioruXXzprzykł.1.1,
przekształcającaXnaX,maelementodwrotny,którymjestfunkcjaodwrotnaf11.
PozostałefunkcjezezbioruXXniemająelementówodwrotnych.
18
