Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WSTĘP
Jeśli≈jestrelacjąrównoważnościwzbiorzeX,todlakażdegoelementu
a∈Xzbiór{x∈X:x≈a}nazywamyklasąabstrakcji(lubklasąrównoważ-
ności)elementuawzględemrelacji≈ioznaczamyprzez[a]≈.Dladowolnego
a∈Xklasaabstrakcji[a]≈niejestpusta,boa≈a,czylia∈[a]≈.Dwieklasy
abstrakcji[a]≈i[b]≈sąidentyczne,gdya≈blubsąrozłączne,gdyaibniesą
równoważne.RelacjarównoważnościdokonujewięcpodziałuzbioruXnazbiory
niepusteirozłączne,czylinaklasyabstrakcjielementówtegozbioru.
Jeślix∈[a]≈,toxnazywamyreprezentantemklasy[a]≈.
Dlarelacjirównoważności≈określonejwzbiorzeXdefiniujemyzbiórilo-
razowyX/≈następująco{[x]≈:x∈X}.KlasyabstrakcjielementówzbioruXsą
więcelementamizbioruilorazowegoX/≈.
ZasadaabstrakcjipoleganaprzeniesieniurozważańzezbioruXnazbiór
ilorazowyX/≈.
DladowolnegopodziałuzbioruXnapodzbioryniepusteirozłącznemożna
określićrelacjęrównoważności≈wzbiorzeX:
x≈ywtedyitylkowtedy,gdyx7y∈A7
gdzieAjestjednymzpodzbiorówzbioruXzdanegopodziału.
Pojęciaparyuporządkowanej,iloczynukartezjańskiegoirelacjibinarnejmoż-
nałatwouogólnićnaprzypadekdwóchniekoniecznierównychzbiorówXiY.
Parauporządkowana(x7y),takażex∈Xiy∈Y,jestelementemiloczynu
kartezjańskiegoX×Y,akażdypodzbiórρ⊂X×Yjestrelacjąbinarną.
Przekształcenia,funkcje
Relacjęρ⊂X×Ynazywamyfunkcją(przekształceniem,odwzorowaniem)odwzo-
rowującązbiórXwzbiórY,gdydladowolnegoelementux∈Xistniejedokładnie
jedenelementy∈Y,takiżexρy.Jeślifunkcjęoznaczymyprzezf,tozapis
f:X→Yodczytujemy:funkcjafodwzorowujezbiórXwzbiórY.Stosujemy
najczęściejzapisy=f(x)(zamiastxfy)imówimy,żeyjestwartościąfunkcji
fdlaargumentux.
Jeżelidanajestfunkcjaf:X→YorazA⊂XiB⊂Y,toprzezf(A)
oznaczamyobrazzbioruAprzyodwzorowaniuf,czylizbiórf(A)⊂Y,takiże
f(A)={y∈Y:istniejetakiex∈A7żey=f(x)}7
zaśprzezf11(B)oznaczamyprzeciwobrazzbioruBprzyodwzorowaniuf,czyli
zbiórf11(B)⊂X,takiże
f11(B)={x∈X:f(x)∈B}.
Zawszezachodzirównośćf11(Y)=X.Jeślif(X)=Y,tomówimy,że
funkcjafodwzorowujezbiórXnazbiórY.
12
