Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
25
Wówczasmożnawzbiorzeklasrównoważności
X/R
wprowadzićdziałaniezapo-
mocąwzoru:
[a]R∗[b]R
df
=[a∗b]R,
gdzie[a]Roznaczaklasęrównoważnościelementua,więc[a]R={x∈X:aRx}.
Nietrudnojestudowodnić,żewzbiorzeliczbcałkowitych
Z
dladowolnego
n
naturalnegoiróżnegoodzerarelacja
a≡b(modn)
⇐⇒jeżelib−ajestpodzielneprzezn
df
(2.1)
jestrelacjąrównoważnościzgodnązarównozdodawaniem,jakizmnożeniemw
Z
.
Zbiórklasrównoważnościdlatejrelacjioznaczamyprzez
Zn
,zaśklasęelementu
a
przez
a
.Ozbiorze
Zn
mówimy,żejestzbioremresztzdzieleniaprzez
n
.Elementem
neutralnymdladodawaniawgrupie
Zn
jestklasarównoważności
0
,cozapisujemy
0=[0]R(gdzieRjestrelacjązdefniowanąprzez(2.1)).
Dla
n=7
klasarównoważnościliczby
10
jestklasąliczby
3
,zaśklasaliczby
−10
jestrównaklasieliczby4,comożnazapisaćinaczej:
10≡3(mod7),
−10≡4(mod7).
Przykład2030Grupamisąnastępującezbiory:
Znzdziałaniemdodawaniamodulon.
Z∗
5=Z5−{0}zdziałaniemmnożeniamodulo5.
□
Najczęściejdziałaniawgrupachoznaczamyprzez
+
lub
·
,czylitakjakdodawanie
lubmnożenieliczb.Ogrupie,wktórejdziałaniejestoznaczoneprzez
+
mówimy,że
jestgrupąaddytywną,zaśogrupie,wktórejdziałaniejestoznaczoneprzez
·
mówimy,
żejestgrupąmultiplikatywną.Elementneutralnywgrupieoznaczanyjestzwykle
przez
e
lub
eG
(jeśligrupąjest
G
).Jeśligrupajestmultiplikatywna,wówczaselement
neutralnybędzietakżeoznaczanyprzez
1
lub
1G
,ajeśligrupajestaddytywnaprzez
0
lub
0G
.Wgrupieaddytywnejelementodwrotnydo
x
oznaczamynajczęściejprzez
−x,zaśwmultiplikatywnejprzezx−1.
Zauważyliśmy,żezbiór
Z∗
5=Z5−{0}
zdziałaniemmnożeniajestgrupą.Równie
łatwojednakzauważyć,że
Z8−{0}
jużgrupąmultiplikatywnąniejest.Rzeczywiście,
wzbiorze
{1,2,3,4,5,6,7}
resztzdzieleniaprzez
8
zachodzi
2·4≡0
(mod
8
),astąd
wynika,żeani
2
ani
4
niemająelementówodwrotnychzewzględunamnożenie.Stąd
pytanie,czyusuwajączezbioru
Z8
pewnąliczbęelementów,możnaotrzymaćgrupę
zdziałaniemmnożenia.Okazujesię,żetak.Cowięcej,dladowolnego
n∈N−{0}
znajdziemymaksymalnypodzbiór
Z∗
n⊂Zn
,któryjestgrupąmultiplikatywną.
