Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Rozdział2.Grupy
Wprzypadkugdyzbiór
X
jestskończony,powiedzmy,że
X={x1,x2,...,xn}
,
wygodnymzapisempermutacjig∈SXjest
g=(x1
g(x1)g(x2)...g(xn)).
x2
...
xn
Permutacja
f:{1,2,3,4,5,6,7}→{1,2,3,4,5,6,7}
zdefniowanaprzez
f(1)=4
,
f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=7,f(6)=5,f(7)=6,towtymzapisie:
f=(1234567
4
1
2
3
7
5
6).
Permutację
h
zbioruskończonego
X={x1,x2,...,xn}
nazywamypermutacjący-
kliczną(lubcyklem),jeżeli
h=(x1x2...xk−1xkxk+1xk+2...xn
x2x3...
xk
x1xk+1xk+2...xn).
Zazwyczajczęść(xk+1xk+2...xn
xk+1xk+2...xn)opuszczamyipiszemy
h=(x1x2...xk−1xk
x2x3...
xk
x1)=(x1x2x3...xk−1xk).
Nietrudnejestudowodnienienastępującegotwierdzenia.
Każdąpermutacjęzbioruskończonegomożnazapisaćjakozłożenie
rozłącznychpermutacjicyklicznych.
Twierdzenie2020
Dlaprzykładu,łatwosięprzekonać,że(1234567
4
1
2
3
7
5
6)=(1432)(576).
GrupęS{1,...,n}oznaczamyprzezSn.
Przykład2020Złatwościąmożnasprawdzić,żeponiższestrukturysągrupami:
Z
(zbiórliczbcałkowitych),
Q
(zbiórliczbwymiernych),
R
(zbiórliczbrzeczywi-
stych),!(zbiórliczbzespolonych)zdziałaniemdodawania;
Q+(zbiórliczbwymiernychdodatnich)zdziałaniemmnożenia.
□
Niech
X
będziedowolnymzbiorem,zaś
∗
działaniemokreślonymwzbiorze
X
.
Jeśliw
X
danajestrelacjarównoważności
R
,którajestrelacjązgodnązdziałaniem
∗
,
toznaczy,żespełnionyjestwarunek:
aRb,cRd⇒(a∗c)R(b∗d).
