Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
kwadratyipierwiastki
25
reprezentujeonoułamek1
3.Zatembyrozwiązaćzagadkę√2,potrzebu-
jemybardziejprzekonującychargumentów.
Czy√2jestułamkiem?Dochodzimywtensposóbdojednegoznaj-
sławniejszychdowodówmatematycznych.Przebiegaonwedługschema-
tuszczególnielubianegoprzezGreków:chodziometodęreductioadab-
surdum.Najpierwprzyjmujemy,że√2niemożebyćjednocześnie
ułamkiemiunieułamkiem”.Toprawologiki,zwaneprawemwyłączone-
gośrodka.Wtakiejlogiceniemadrogipośredniej.TakwięcGrecyzro-
bilicośbardzopomysłowego.Założyli,żeliczba√2jestułamkiem,poczym,
stosującnakażdymkrokuścisłeprawalogiki,doszlidosprzeczności,
douabsurdu”.Prześledźmytentokrozumowania.Przypuśćmy,że:
√2=—.
m
n
Możemynawetzałożyćniecowięcej,amianowicie,żeminniemająwspól-
nychdzielników*.Tojestwporządku,bogdybytakiwspólnydzielnikist-
niał,skrócilibyśmyułamekprzedprzystąpieniemdodalszychetapówdo-
wodu.(Naprzykładułamek21
35poskróceniuprzezwspólnydzielnik7
dajerównoważnyułamek3
5bezwspólnegodzielnika).
Podnieśmyobiestronyrówności√2=m
ndokwadratu.Otrzymujemyrów-
ność2=m2
n
2,zktórejwynikam2=2n2.Tuczynimypierwsząważnąobser-
wację:ponieważliczbam2równasię2razycoś**,musionabyćparzysta.
Wtakimraziesamaliczbamniemożebyćnieparzysta(jakożekwadrat
liczbynieparzystejjestliczbąnieparzystą),zatemmrównieżjestliczbą
parzystą.
Jakdotądrozumowaniejestbezzarzutu.Jeślimjestparzyste,tomusibyć
równe2razycoś,comożemyzapisaćjakom=2k.Podnoszącteraztęrów-
nośćdokwadratu,otrzymujemym2=4k2.Połączmytenfaktzrównością
m2=2n2,bywywnioskować,że2n2=4k2,copopodzieleniuobustron
*Różnychod1(przyp.tłum.)
**Toucoś”jestliczbącałkowitą(przyp.tłum.)
