Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
posiadarodzinętrywialnychrozwiązańpostaci{(p,0):p∈R}.Ustalmyma-
cierzLO=
∂f
∂u(0,0).WtymprzypadkuwynikE.Hopfa[51,41,18]możnasfor-
mułowaćnastępująco:bifurkacjeokresowychrozwiązańukładu(0.0.7)wprzy-
padkuskończeniewymiarowym,występująprzyponiższychzałożeniach:
1.Elementy±źsąprostymiwartościamiwłasnymiLOoraz±kźnienależą
dospektrumLOdlak=0,2,3,...
2.Jeśli0jestwektoremwłasnymLOodpowiadającymwartościwłasnejź,to
istniejąfunkcje3(p)iz(p)klasyC2określoneprzezwarunki∂f
∂u(p,0)z(p)=
3(p)z(p),3(0)=ź,z(0)=0orazzachodzitzw.warunekHopfa
Re3
/(0)=0,
(0.0.8)
tzn.wartościwłasne3(p)przecinająośurojoną.
Problememjestznalezienierozwiązańokresowychrównania(0.0.7)zokre-
sembliskim2π.Wtymceludokonującpodstawieniat=(1+ρ)τmożnaprzejść
dorównania
du
dτ
+(1+ρ)f(p,u)=0,
(0.0.9)
zmałymparametremdodatkowymρ(bliskimzeru)iszukać2π-okresowych
rozwiązańtegorównania,tzn.rozpatrywaćwaruneku(0)=u(2π).
Wrozdziale4podamyprzykładyrównańtypu(0.0.7),któremożnarozwią-
zywaćzpunktuwidzeniateoriip−regularności,adokładnie,będącychprzy-
kładamizastosowaniatwierdzeniaozmodyfikowanymp−faktoroperatorzedo
zagadnieńbifurkacyjnych.Wprzykładachpierwszymidrugimposzukamyroz-
wiązańprzyustalonymokresie2πdlamałychp.Przykładtrzecitozastoso-
wanieteoriidotyczącejzmodyfikowanegop−faktoroperatoradoukładudyna-
micznego,któryjestpewnymrozszerzeniemukładu(0.0.7)iwktórymmacierz
14
