Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.RELACJEIFUNKCJE
41.Udowodnić,żejeśliA⊆δfiB⊆pf,to:
(a)A⊆f-1(f(A));
(b)f(f-1(B))=B;
(c)f(A)∩B=f(A∩f-1(B));
(d)f(A)∩B=∅⇔A∩f-1(B)=∅;
(e)f(A)⊆B⇔A⊆f-1(B).
42.Niechf:AąB.Zdefiniujmyfunkcje
f∗:P(A)ąP(B),
f∗:P(B)ąP(A)
takie,że
f∗(X)={f(x):x∈X},
f∗(Y)={x:f(x)∈Y}.
Kiedyf∗◦f∗=źP(B)?Kiedyf∗◦f∗=źP(A)?
43.Zachowującoznaczeniapoprzedniegozadania,udowodnić,że:
(a)f∗(X∩Y)=f∗(X)∩f∗(Y);
(b)(f◦g)∗(X)=f∗(g∗(X)).
17
44.NiechUbędziezbioremniepustym.Dladowolnegopodzbioru
AzbioruUprzezχU
Aoznaczymynastępującąfunkcję(funkcję
charakterystycznązbioruA):
χU
A(x)={O,gdyx∈A,
1,gdyx∈U\A.
Zdefiniujemyfunkcjęf:P(U)ą{O,1}Upoprzezwarunek:
f(A)=χU
AdladowolnegoA∈P(U).Udowodnić,żefjestwza-
jemniejednoznacznąodpowiedniościąmiędzyP(U)i{O,1}U.
45.Udowodnić,żewprowadzonawpoprzednimzadaniufunkcjaχU
A
spełnianastępującewarunki:
(a)χU
U(x)=O;
(b)χU
∅(x)=1;
(c)χU
U\A(x)=1−χU
A(x);
(d)χU
AUB(x)=χU
A(x)·χU
B(x);
