Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
ZADANIA•1.LICZBYRZECZYWISTE
1.2.21.Niechp1,p2,...,pnbędąustalonymiliczbamirzeczywistymidodat-
nimi.ZnaleźćnajmniejsząwartośćwyrażeniaΣ
n
k=1pka2
kprzywarunku,że
Σ
n
k=1akl1.
1.2.22.Wykazać,żedladowolnychliczbrzeczywistychak,kl1,2,...,n,praw-
dziwajestnierówność
(n
k=1
Σ
ak)
2
≤(n−1)(n
k=1
Σ
a2
k+2a1a2).
1.2.23.Niechak,bk∈R,kl1,2,...,n.Udowodnić,że
1
1
1
(a)(n
k=1
Σ
(ak+bk)
2)
2
≤(n
k=1
Σ
a2
k)
2
+(n
k=1
Σ
b2
k)
2
,
(b)
|
|
|
|
|
|
(n
k=1
Σ
a2
k)
1
2
−(n
k=1
Σ
b2
k)
1
2
|
|
|
|
|
|
≤
k=1
Σ
n
|ak−bk|.
1.2.24.Niechp1,p2,...,pnbędąustalonymiliczbamirzeczywistymidodatnimi.
Znaleźćnajmniejsząwartośćwyrażenia
k=1
Σ
n
a2
k+(n
k=1
Σ
ak)
2
k=1
Σ
n
pkakl1.
przywarunku,że
1.2.25.Załóżmy,żea1≥a2≥...≥anib1≥b2≥...≥bnluba1≤a2≤...
≤anib1≤b2≤...≤bn.Wykazać,żeprawdziwajestnierównośćCzeby-
szewa
k=1
Σ
n
ak
k=1
Σ
n
bk≤n
k=1
Σ
n
akbk.
1.2.26.Niechak≥0,kl1,2,...,n,ip∈N.Wykazaćnierówność
(1
n
k=1
Σ
n
ak)
p
≤
1
n
k=1
Σ
n
a
p
k.
1.2.27.Wykazać,żejeślic>0,todladowolnychliczbrzeczywistycha,bspeł-
nionajestnierówność
(a+b)2≤(1+c)a2+(1+
1
c)b2.
1.2.28.Wykazać,żedladowolnycha,b,c∈Rprawdziwajestnierówność
|
|
|
da2+b2−da2+c2
|
|
|
≤|b−c|.
1.2.29.Wykazać,żedladowolnychdodatnichliczbrzeczywistycha,b,cspeł-
nionesąnastępującenierówności:
