Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.PEWNEELEMENTARNENIERÓWNOŚCI
9
1.2.13.Udowodnić,żedladowolnychliczbrzeczywistychak,bk,kl1,2,...,n,
mamy
1
(
\(n
k=1
Σ
ak)
2
+(n
k=1
Σ
bk)
2\
)
2
≤
k=1
Σ
n
(a2
k+b2
k)
1
2.
1.2.14.Niechak,bk,kl1,2,...,n,będąliczbamirzeczywistymispełniającymi
warunekΣ
n
k=1a2
klΣ
n
k=1b2
kl1.Wykazać,żewtedy
|
|
|
|
|
k=1
Σ
n
akbk
|
|
|
|
|
≤1.
1.2.15.Udowodnić,żejeśliak>0,kl1,2,...,n,to
(a)
k=1
Σ
n
ak
k=1
Σ
n
ak
1
≥n2,
(b)
k=1
Σ
n
ak
k=1
Σ
n
11ak
ak
≥n
k=1
Σ
n
(1−ak),
(c)(logła1)
2+(logła2)2+...+(logłan)2≥
n
1
,
przyzałożeniu,żea1a2·...·anla/l1.
1.2.16.Niechak,bk∈R,kl1,2,...,n,iniecho>0.Pokazać,że
|
|
n
|
|
|
k=1
Σ
akbk
|
|
|
|
|
≤
0
1
k=1
Σ
n
a2
k+
4
0
k=1
Σ
n
b2
k.
1.2.17.Niechak∈R,kl1,2,...,n.Wykazać,że
1
k=1
Σ
n
|ak|≤√n(n
k=1
Σ
a2
k)
2
≤√n
k=1
Σ
n
|ak|.
1.2.18.Niechak,bk,kl1,2,...,n,będądowolnymiliczbamirzeczywistymi.
Udowodnić,że
(a)(n
k=1
Σ
akbk)
2
≤
k=1
Σ
n
ka2
k
k=1
Σ
n
b2
k
k
,
(b)(n
k=1
Σ
ak
k)
2
≤
k=1
Σ
n
k3a2
k
k=1
Σ
n
k5
1
.
1.2.19.Udowodnić,żedladowolnychliczbrzeczywistychp,qorazdowolnych
liczbdodatnichak,kl1,2,...,n,spełnionajestnierówność
(n
k=1
Σ
a
k)
p
2
≤
k=1
Σ
n
a
p+q
k
k=1
Σ
n
a
p1q
k
.
1.2.20.Niechak,kl1,2,...,n,będątakimiliczbamirzeczywistymi,że
Σ
n
k=1akl1.ZnaleźćnajmniejsząwartośćwyrażeniaΣ
n
k=1a2
k.
