Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.WŁASNOŚCICAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
1.1.17.Obliczyć
n→∞(1k+3k+...+(2n–1)k
lim
nk+1
),gdziek≥0.
7
1.1.18.Załóżmy,żefjestfunkcjądwukrotnieróżniczkowalnąna[0,1]iżef!!
jestfunkcjąograniczonąicałkowalnąwsensieRiemanna.Udowodnić,że
n→∞
lim
n2(∫
o
1
f(x)dx−
n
1
i=1
Σ
n
f(2i–1
2n))=f′(1)–f′(0)
24
.
1.1.19.Dlan∈N,połóżmy
Un=
n+1
1
+
n+2
1
+...+
2n
1
oraz
Vn=
2n+1
2
+
2n+3
2
+...+
4n–1
2
.
Udowodnić,że
n→∞
lim
Un=lim
n→∞
Vn=ln2.
Ponadto,wykorzystujączadania1.1.16i1.1.18,udowodnić,że
n→∞
lim
n(ln2−Un)=
1
4
i
n→∞
lim
n2(ln2−Vn)=
32
1
.
1.1.20.Udowodnić,żejeślifjestfunkcjącałkowalnąwsensieRiemannana
[a,b],tomożnazmienićjejwartośćwdowolnejskończonejliczbiepunktówbez
wpływunacałkowalnośćiwartośćcałki.
1.1.21.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąmonotonicznąiαjestfunkcjąciągłąna
[a,b],tof∈R(α).
1.1.22.Udowodnić,żejeślif∈R(α)orazαniejestanilewostronnieanipra-
wostronnieciągławpewnympunkcieprzedziału[a,b],tofjestciągławtym
punkcie.
1.1.23.Załóżmy,żefjestfunkcjącałkowalnąwsensieRiemannaiαjestfunkcją
ciągłąna[a,b].Udowodnić,żejeśliαjestróżniczkowalnana[a,b]zwyjątkiem
conajwyżejskończonejliczbypunktówiα!jestcałkowalnawsensieRiemanna,
tof∈R(α)oraz
∫
a
b
f(x)dα(x)=∫
a
b
f(x)α!(x)dx.
1.1.24.Załóżmy,żefjestfunkcjącałkowalnąwsensieRiemannaiαjestfunkcją
ciągłąna[a,b]zwyjątkiemconajwyżejskończonejliczbypunktów.Udowodnić,
żejeśliαjestróżniczkowalnana[a,b]zwyjątkiemconajwyżejskończonejliczby
punktówiα!jestcałkowalnawsensieRiemanna,tof∈R(α)oraz
