Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.WŁASNOŚCICAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
1.1.5.Wykazać,żefunkcjaRiemannaokreślonawzorem
(
'
0,
jeślixjestliczbąniewymiernąlubx=0,
f(x)=
{
1/q,
jeślix=p/q,p∈Z,q∈N,iliczby
'
L
p,qsąwzględemsiebiepierwsze
jestcałkowalnawsensieRiemannanakażdymprzedziale[a,b].
1.1.6.Niechf:[0,1]→Rbędziefunkcjąokreślonąwzorem
f(x)=1dlax=
0
wpozostałychpunktach.
n
1
,n∈N,
Wykazać,że∫
of(x)dx=0.
1
1.1.7.Wykazać,żefunkcjaf:[0,1]→Rokreślonawzorem
f(x)=
0
x
1
−[
1
x
]
dlax=0,
wpozostałychpunktach
jestcałkowalnawsensieRiemannana[0,1].
1.1.8.Niech
f(x)={
0
1
dlax∈[−1,0],
dlax∈(0,1]
oraz
α(x)={
0
1
dlax∈[−1,0),
dlax∈[0,1].
Wykazać,żef∈R(α)chociażnieistniejegranica
lim
S(P,f,α).
µ(P)→o
5
1.1.9.Wykazać,żejeślifiαmająwspólnypunktnieciągłościwprzedziale[a,b],
tonieistniejegranica
lim
S(P,f,α).
µ(P)→o
1.1.10.Wykazać,żejeśliistniejegranica
lim
S(P,f,α),tof∈R(α)na[a,b]
µ(P)→o
oraz
µ(P)→o
lim
S(P,f,α)=∫
a
b
fdα.
Wykazaćtakże,żepowyższarównośćjestprawdziwadlakażdejfunkcjifciągłej
na[a,b].
1.1.11.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąograniczonąiαjestfunkcjąciągłąna
[a,b],tof∈R(α)wtedyitylkowtedy,gdyistniejegranica
lim
S(P,f,α).
µ(P)→o
1.1.12.Niech
α(x)={
c
d
dlaa≤x<x∗,
dlax∗<x≤b,
gdziec<dorazc≤α(x∗)≤d.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąograniczoną
na[a,b]iprzynajmniejjednazfunkcjiflubαjestlewostronnieciągławx∗,
