Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
W1.ZBIORYIDZIAŁANIANANICH
17
dladowolnychzbiorówAiB.Związkidotyczącedziałańnazbiorachizachodzące
dladowolnychzbiorównazywamyczęstoprawamirachunkuzbiorówlubpra-
wamialgebryzbiorów.Takwięcprawaprzemiennościdodawaniaimnożenia
sąprzykładamiprawalgebryzbiorów.
Następnymiprawamialgebryzbiorówsąprawałącznościdodawaniaimno-
żenia:
AU(BUC)=(AUB)UC
oraz
AΠ(BΠC)=(AΠB)ΠC
dladowolnychzbiorówA,BiC.Kolejneprawarachunkuzbiorówdotyczązwiąz-
kówtychdziałańzezbiorempustym:
AU/O=A
oraz
AΠ/O=/O
dladowolnegozbioruA.
Interesującejestto,żeprawdziwesądwaprawarozdzielności(mnożenia
względemdodawaniaidodawaniawzględemmnożenia):
AΠ(BUC)=(AΠB)U(AΠC)
oraz
AU(BΠC)=(AUB)Π(AUC)
dladowolnychzbiorówA,BiC.
Następnymiprawamirachunkuzbiorówsątzw.prawaidempotentności:
AUA=A
oraz
AΠA=A
dladowolnegozbioruA.
Prawapochłanianiamówią,żejeślidanesądwazbioryAiBtakie,że
A⊆B,to
AUB=B
oraz
AΠB=A.
Wszczególności
AU(AΠB)=A
oraz
AΠ(AUB)=A.
Nakonieczwróćmyuwagęnadwaprawawiążącedziałaniadodawaniaimno-
żeniazodejmowaniem.SątoprawadeMorgana:
A\(BUC)=(A\B)Π(A\C)
oraz
A\(BΠC)=(A\B)U(A\C)
dladowolnychzbiorówA,BiC.UdowodnimyterazpierwszezprawdeMorgana.
Dowodypozostałych,wymienionychwyżejprawalgebryzbiorów,pozostawimy
jakoćwiczenie.
Przypuśćmyzatem,żex∈A\(BUC).Zdefinicjiróżnicyzbiorówwynika,że
x∈Aorazx/∈BUC.DozbioruBUCnależąteitylkoteobiektyx,którenależą
doconajmniejjednegozezbiorówBiC.SkoroxnienależydosumyBUC,tox
nienależydożadnegozezbiorówBiC.Zatemx∈A\Borazx∈A\C.Astąd
wynika,żexnależydoiloczynu(A\B)Π(A\C).
