Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
(2)JeśliCjestdowolnymzbioremowłasności
(∗)
toC⊆ΠA.
dlakażdegoA,jeśliA∈A,toC⊆A,
Dowód.Wykażemynajpierw,żespełnionyjestwarunek(1).NiechwięcA∈A
iniechxbędziedowolnymelementemzbioruΠA.ZdefinicjiiloczynurodzinyA
wynika,żexnależydokażdegozbiorunależącegodorodzinyA,więcwszczegól-
nościx∈A.ZatemΠA⊆A.
Pokażemyteraz,żespełnionyjestwarunek(2).NiechwięcCbędziedowolnym
zbioremzawartymwewszystkichzbiorachnależącychdorodzinyA:
dlakażdegoA,jeśliA∈A,toC⊆A.
Przypuśćmy,żexjestdowolnymelementemzbioruCiniechA∈A.Aleskoro
C⊆A,tox∈A.Pokazaliśmyzatem,żedowolnyelementzbioruCnależydo
każdegozbioruA∈A,awięcnależydoprzecięciarodzinyA.Todowodzi,że
C⊆ΠA.I
Zauważmy,żejeśliprzecięciedanejrodzinyzbiorówjestzbiorempustym,to
niemusitowcaleoznaczać,żekażdedwazbiorynależącedotejrodzinysąroz-
łączne.Weźmybowiemrodzinęzdefiniowanąwprzykładzie1.9(5).Jejiloczynjest
pusty,alemożnałatwopokazać,żekażdedwazbiorynależącedoniejmająnie-
pusteprzecięcie(możnapokazaćwięcej:każdaskończonapodrodzinatejrodziny
maniepusteprzecięcie).Rodzinęzbiorówotejwłasności,żekażdedwazbiory
należącedoniejsąrozłączne,nazywamyrodzinązbiorówparamirozłącznych
lubkrótko,rodzinąrozłączną.
PRZYKŁAD1.11
(1)Rodzinazbiorów
A={A∈P(R):istniejen∈Ztakie,żeA=(n,n+1)}
jestrodzinązbiorówparamirozłącznych.
(2)Rodzinazbiorów{{1,2},{2,3},{1,3}}mapusteprzecięcie,aleniejest
rodzinąrozłączną.
(3)Weźmypoduwagęnastępującypodzbiórzbioruliczbnaturalnych:
X={n∈N:istniejąliczbypierwszepiqtakie,żep/=qin=p·q}.
WeźmynastępnierodzinęApodzbiorówzbioruX,którejelementamisą
zbioryAonastępującejwłasności:
istniejeliczbapierwszaptaka,żedlakażdejliczbyxnależącejdo
zbioruX:
x∈Awtedyitylkowtedy,gdyliczbaxjestpodzielnaprzezp.
