Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Podzbioryporządkowogęste1ośrodkowośćporządkowa
NiechXbędziezbioremuporządkowanym.PodzbiórAzbioruXnazywany
jestporządkowogęstym1wskrócie,dlacelówtegoWykładu,gęstymwzbiorze
X,jeśliwkażdymprzedzialeniepustymzbioruXsąpunktyzbioruA.
Zbiórliczbrzeczywistychzawierazbiórgęstyprzeliczalny,mianowiciepod-
zbiórliczbwymiernych.Mówisięteż,żezbiórliczbwymiernychstanowiośro-
dekprzeliczalnyzbioruliczbrzeczywistych.Zbioryuporządkowane,zawierające
zbiorygęsteprzeliczalne,nazywanesąporządkowoośrodkowymi.
TwierdzeniaCantora
Przezizomorfizmzbiorówuporządkowanychrozumiemyodwzorowaniejed-
negozbiorunadrugi,zachowującenierówności,tj.takieodwzorowanief,dla
któregox<x’Þf(x)<f(x’)dlawszelkichxix’.Oczywiście,jesttoodwzorowa-
nieodwracalneiodwrotnedońjestteżizomorfizmem.Jeślimiędzyuporządko-
waniamiistniejeizomorfizm,tonazywamyjeizomorficznymi.
TwierdzenieCantora
7
.Każdedwauporządkowaniazbiorówprzeliczalnych,
niemająceskoków,sąizomorficzne,jeślipominąćwnichelementyskrajne.
Dowód.NiechP={p
1,p
2,...}iQ={q
1,q
2,...}będązbioramiprzeliczalnymi,
danymijużwpostaciciągów,uporządkowanymibezskokówiniemającymiele-
mentówskrajnych.Niepowinnoprowadzićdonieporozumieńto,żenierówności
wzbiorachPiQbędąoznaczanetymsamymsymbolem<(nierówności<nie
mająnicwspólnegozkolejnościąwzapisaniuzbiorówPiQjakociągów).
Izomorfizmh:P→Qbędzieokreślony,jednocześniezodwrotnymdoń
izomorfizmemh-1:Q→P,indukcyjnie.
Przyjmujemyh(p1)=q
1iokreślamyh-1(q
2)jakoelementzbioruPonajmniejszym
wskaźnikujwśródtakichpj,któresąwtejsamejrelacji<dop
1coq
2doq
1.
Q
P
h–1
q
3
P
q
1
1=h(p
h
1)h(p
P
2
2)
h
q
2
h–1(q
h–1
2)
Rys.6.TwierdzenieCantora
7TwierdzeniepochodzizpracG.Cantora:BeiträgezurBegründungdertransfinitenMen-
genlehre.„MathematischeAnnalen”76(1895),7811512;79(1897),2071206;jestwGesammelte
AbhandlungenCantora,Springer1980,s.303.Szerszykontekstikomentarzepor.W.Sierpiń-
16
ski:Cardinalandordinalnumbers.Warszawa1958,s.2091214.
