Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
29
Zwrócimyterazuwagęnaprawoprzechodniościimplikacji:
[(p⇒q)∧(q⇒T)]⇒(p⇒T).
Zpowodutejtautologiizamiastpisać(p⇒q)∧(q⇒T),piszemyskrótowo)
p⇒q⇒T.Wtejostatniejformulenienależywstawiaćnawiasów(jakdla
mnożenialubdodawanialiczb),gdyżformuła[p⇒(q⇒T)]⇔[(p⇒q)⇒T]
niejesttautologią.Np.dlaw(p)=w(q)=w(T)=0mamyw(p⇒(q⇒
T))=1,alew((p⇒q)⇒T)=0.Formułyp⇒(q⇒T)i(p⇒q)⇒T
niesąwięcrównoważne.Mówimy,żeformułyΦiΨsąrównoważne,gdy
formułaΦ⇔Ψjesttautologią.Czytelnikzechcesprawdzić,żeaniformuła
p⇒(q⇒T),ani(p⇒q)⇒Tniejestrównoważnaformulep⇒q⇒T.
Dladowoduprawaprzechodniościimplikacjiniebędziemytworzyćtabelki,
któradlaformułyotrzechzmiennychp,q,Tmusiałabymieć23=8wierż
szy.Posłużymysięmetodądowoduniewprost.Przypuśćmymianowicie,że
formułaψ(p,q,T)równa[(p⇒q)∧(q⇒T)]⇒(p⇒T)niejesttautologią.
Oznaczato,żezmiennymp,q,Tmożemynadaćpewnewartościlogiczne,dla
którychw(ψ(p,q,T))=0.Wtedyw((p⇒q)∧(q⇒T))=1iw(p⇒T)=0.
Stądw(p⇒q)=1iw(q⇒T)=1iw(p)=1iw(T)=0.Dlatakiejwartości
zmiennejpwartośćw(q)musibyćrówna1,alebiorącpoduwagęwartość
zmiennejT,mamyjednocześniew(q)=0.Otrzymanasprzecznośćdowodzi,
żeprzypuszczeniepoczynionenapoczątkutegodowodujestfałszywe,azaż
temψjesttautologią.I
Ogólniemówiąc,dowódniewprost(nazywanyteżdowodemapagogicznym)
poleganatym,żeotrzymanawwynikupoprawnegownioskowaniasprzeczność
musimiećjedynąprzyczynęwfałszupoczątkowegoprzypuszczenia,które
formułujesięjakonegacjędowodzonejtezy.Tezajestprawdziwa,skorojej
negacjaokazałasięfałszywa.Prowadzącdowodyniewprost,korzystamy
najczęściejznastępującychtautologii)
¬(p∧¬p)(prawosprzeczności),
(¬q⇒(p∧¬p))⇒q,
¬(p⇒q)⇔p∧¬q(prawonegacjiimplikacji).
PrzydatnetubędątakżepoznanejużprawadeMorganawrazzprawem
podwójnegoprzeczenia)
p⇔¬¬p.
Dowody,wktórychrozpatrujemyoddzielneprzypadkikorzystająnatoż
miastzprawawyłączonegośrodka)p∨¬p.
Dysponującjakimśzasobemprawrachunkuzdań,możnaznichzapoż
mocąpewnychregułwyprowadzaćinneprawategorachunku.
