Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
yn+1=2xn+3yn+1.
ROZDZIAŁ1.
OtrzymujemynieskończonyciągrozwiązańrównaniaTx=Ky)
(x,y)=(0,0),(1,1),(8,6),(49,35),(288,204),...
.
Zadanie.Podaćnieskończeniewielerozwiązańrównaniax(3x+1)/2=y2
wliczbachnaturalnych.
Odpowiedź)I.xo=yo=0,xn+1=49xn+40yn+8,yn+1=60xn+
49yn+10;ainaczejmówiąc)II.xo=0,x1=8,xn+2=98xn+1−xn+16;
orazyo=0,y1=10,yn+2=98yn+1−yn.
Więcejwiadomościorównaniachdiofantycznychznaleźćmożnawksiążce
wybitnegopolskiegomatematykaWacławaSierpińskiego[1882Ź1969][73].
PytanieSierpińskiego)Jakajestnajmniejszaliczbanieparzystak>0o
tejwłasności,żeliczbak·2n+1jestzłożonadlakażdegon∈N?Obecnie
wiadomo,żeliczba78557matęwłasnośćiżemożeewentualniejąpoprzedzić
conajwyżejsześćliczb,którychstatusuwtymzagadnieniunieudałosięna
razieustalić)10233,21181,22699,24737,55459,67607.
1.2.4.Diagonalizacjamacierzy2×2.Przypuśćmy,żeliczbyrzeczyż
wisteλ1/=λ2sąwartościamiwłasnymimacierzy
A:=[A11A12
A21A22],
czylirozwiązaniamirównania
|
|
|
|
A11−λ
A21
A22−λ
A12
|
|
|
|
=0.
Niech(S1j,S2j)będziejakimkolwiekniezerowymwektoremwłasnymmacierzy
Aodpowiadającymwartościwłasnejλjdlaj=1,2,tzn.parąliczbspełniaż
jącąwarunek(A11−λj)·S1j+A12·S2j=0.
NiechS:=[S11S12
S21S22],D:=[λ10
0
λ2].
WtedyA=S◦D◦S11,przyczym
S
11=
|
|
|
|
S11S12
S21S22
|
|
|
|
11
·[S22−S12
−S21
S11].
