Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
ROZDZIAŁ1.
liczbnaturalnychx,y,żeTx=Ky?Pokażemy,żeparotejwłasnościjest
nieskończeniewiele.
Szukamyrozwiązańrównaniadiofantycznego
(*)x(x+1)=2y2.
Nazwarównaniediofantyczneoznacza,żeszukamyjegorozwiązaniawliczbach
całkowitych,awzięłasięonaodDiofantosazAleksandrii,któryjużwIII
wiekubadałtakierównania.
Najpierwprzekształcimylewąstronęrównania(*)metodąπuzupełniania
dokwadratufl)
x(x+1)=x2+x=(x+1/2)2−1/4.
Popomnożeniuobustronrównania(*)przez4otrzymujemyrównanie
(2x+1)2−1=2·(2y)2,
którezamienićmożemynaukładtrzechrównańdiofantycznych)
(
4
l
ł2−2b2=1
ł=2x+1
b=2y
.
Mówiącprościej,poszukujemytakichcałkowitychrozwiązańł,brównania
ł2−2b2=1,
żełjestliczbąnieparzystąibjestliczbąparzystą.Nawiasemmówiącinnych
rozwiązańniema.To,żełjestnieparzystewidaćodrazu,askoroł=2x+1,
tob2=(ł2−1)/2=2x2+2x,czylibjestparzyste.Poznalezieniurozwiązań
ł,botrzymamy,że
x=(ł−1)/2,
y=b/2.
Dokonujemyterazrozkładuwyrażeniał2−2b2naczynniki)
(**)ł2−2b2=(ł+b√2)(ł−b√2).
Przypominatorównośćznanązteoriiliczbzespolonych)
(**)
/
|ł+bi|2=ł2+b2=(ł+bi)(ł−bi).
