Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
1.12.Przykład.
Jeślin>k,torzutf:Rn→Rkokreślonywzorem
f(x1j...jxn)=(x1j...jxk)jestsubmersją.
1.13.Twierdzenie(osubmersji).
Jeżelif:W→Rkjestsubmersją
wpunkciew∈W,toistniejedyfeomorfizm0:Wo→0(Wo)⊂Rnokreślony
naotoczeniuWo⊂WpunktuwwRntaki,że(f◦011)(y1j...jykj...jyn)=
=(y1j...jyk)dla(y1j...jyn)∈0(Wo)(rys.1.2).
Rys.1.2
Dowód.
Skorofjestsubmersjąww,torządmacierzyf′(w)jestrównyk,
więcpewnakwadratowapodmacierzstopniakmacierzyf′(w)jestnieosobli-
wa.Tymrazemmożnazałożyć,żejesttopodmacierzzłożonazpierwszychk
kolumn.Definiujemyprzekształcenie0:W→RkXRn1k=Rnwzorem
0(x1j...jxkjxk+1j...jxn):=
:=(f1(x1j...jxn)j...jfk(x1j...jxn)jxk+1j...jxn).
Jakłatwosprawdzić,znowujakobianJ0(w)/=0,więcztwierdzeniaoodwzo-
rowaniuodwrotnym(1.6.)wynika,że0przekształcadyfeomorficzniepewne
otoczenieWopunktuwna0(Wo).Jeżeli(y1j...jyn)∈0(Wo)i(x1j...jxn)=
=011(y1j...jyn),to
(y1j...jykjyk+1j...jyn)=0(x1j...jxn)=
=(f1(x1j...jxn)j...jfk(x1j...jxn)jxk+1j...jxn).
Zatem(f◦011)(y1j...jyn)=f(x1j...jxn)=(y1j...jyk).✷
1.14.Definicja.
NiepustypodzbiórMprzestrzeniafinicznejRnnazywamy
m-wymiarowąpodrozmaitością(lubkrócejrozmaitością)wtedyitylko
wtedy,gdydlakażdegopunktux
∈
Mistniejetakidyfeomorfizm
0:W→0(W)⊂Rn=RmXRn1mokreślonynapewnymotoczeniuWpunk-
