Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Relacjeifunkcje
(4):Ustalmy
x∈Π{f
11[B]:B∈B}.
13
WówczasdlakażdegoB∈Bmamyx∈f11[B].Zatemf(x)∈BdlakażdegoB∈
B,awięcf(x)∈ΠB,czylix∈f11[ΠB].Inkluzjęodwrotnąłatwowyprowadzić
zlematu1.6,podobniejakwpoprzednichpunktachdowodu.
Łatwowskazaćprzykład,żewarunku(2)poprzedniegotwierdzenianieudasię
wzmocnićprzezzamianęinkluzjinarówność,chybażezałożymyofunkcji,iżjest
różnowartościowa.
Obokrodzinzbiorów,czylizbiorów,którychelementamisązbiory,wmatema-
tycerozważamypojęcietzw.indeksowanejrodzinyzbiorów.Abypodaćdefinicję
tegopojęciazałóżmy,żeJorazXsązbioramiorazι:JąD(X)jestfunkcją.
Tradycyjniefunkcjęιnazywamyindeksowanąrodzinązbiorówizapisujemyjako
(Xj:j∈J)j
gdzieXj=ι(j)dlakażdegoj∈J.ZbiórJnazywamyzbioremindeksówtej
rodziny.Indeksowanarodzinazbiorów(Xj:j∈J)niejestwięcformalnietym
samym,cojejprzeciwdziedzina,którąbędziemyoznaczać{Xj:j∈J},cho-
ciażtakzapisanemożemyzesobąutożsamić.Sumąindeksowanejrodzinyzbiorów
(Xj:j∈J)nazywamyzbiórU{Xj:j∈J},ailoczynemindeksowanejrodziny
zbiorów(Xj:j∈J)nazywamyzbiórΠ{Xj:j∈J},oiletylkorodzinatajest
niepusta.Sumęiiloczynindeksowanejrodziny(Xj:j∈J)oznaczamyodpowied-
niosymbolami
j∈J
U
XjorazΠ
j∈J
Xj.
Zatem
x∈U
Xjwtedyitylkowtedy,gdyistniejetakiej∈Jjżex∈Xj
j∈J
oraz
x∈Π
Xjwtedyitylkowtedy,gdyx∈Xjdlakażdegoj∈J.
j∈J
Zauważmy,żejeśliJ/=∅orazXj⊆Xdlakażdegoj∈J,to
X\Π
j∈J
Xj=U
j∈J
(X\Xj)
oraz
X\U
j∈J
Xj=Π
j∈J
(X\Xj).
Powyższerówności,zewzględunaichpostać,nazywamywzoramideMorganadla
indeksowanejrodzinyzbiorów(Xj:j∈J).
