Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
1.Zbiory,relacje,funkcje
Jeślifunkcjafniejestinjekcją,toistniejądwaróżneelementyxjz∈X,takie
żef(x)=f(z).DlazbioruA={x}mamywówczasz∈f11[f[A]]\A,awięc
równośćA=f11[f[A]]niezachodzi.
Równiełatwosprawdzićnastępnetrzywłasnościobrazówiprzeciwobrazów.
Lemat1.6.Dladowolnejfunkcjif:XąYzachodząwarunki:
(1)jeśliA⊆B⊆X,tof[A]⊆f[B],
(2)jeśliA⊆B⊆Y,tof11[A]⊆f11[B],
(3)jeśliA⊆XorazB⊆Y,tof[A∩f11[B]]=f[A]∩B.
Dowód.Pierwszedwiewłasnościwynikająbezpośredniozdefinicjiobrazuiprze-
ciwobrazu.Niecomniejbanalnadoudowodnieniajestwłasnośćtrzecia.Ustal-
myg∈f[A∩f11[B]].Wówczasg=f(x)dlapewnegox∈A∩f11[B].Za-
temg=f(x)∈f[A]orazg∈B.Inkluzjaprzeciwnawynikastąd,żejeśli
g∈f[A]∩B,toistniejetakiex∈A,żeg=f(x).Wówczasx∈A∩f11[B],czyli
g∈f[A∩f11[B]].
Częstowykorzystujesiętakżewłasnościobrazówiprzeciwobrazówwyrażone
wkolejnymtwierdzeniu.
Twierdzenie1.7.Jeślif:XąYjestfunkcją,todladowolnychrodzinA⊆
D(X)orazB⊆D(Y)zachodząwzory:
(1)f[UA]=U{f[A]:A∈A}j
(2)f[ΠA]⊆Π{f[A]:A∈A},oileA/=∅,
(3)f11[UB]=U{f11[B]:B∈B}j
(4)f11[ΠB]=Π{f11[B]:B∈B},oileB/=∅.
Dowód.(1):Dladowodutejrównościzauważmynajpierw,żedladowolnegoA∈
Azachodziinkluzja
A⊆UAj
awięcnamocypierwszejczęścilematu1.6otrzymujemy
f[A]⊆f[UA].
Abywykazaćinkluzjęprzeciwną,ustalmyelementg∈f[UA].Wówczasistnieje
takielementx∈UA,żeg=f(x).WeźmyA∈A,takieżex∈A.Wówczas
g=f(x)∈f[A]⊆U{f[A]:A∈A}j
atokończydowódwłasności(1).
(2):Abyudowodnićtenwarunek,wystarczyzauważyć,żedladowolnegoA∈
Azachodziinkluzja
ΠA⊆A
iskorzystaćzlematu1.6.
(3):Dowódtejczęścitwierdzeniajestbardzopodobnydodowoduczęścipierw-
szej,tylkoteraztrzebaskorzystaćzdrugiejczęścilematu1.6.
