Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Porządkiciał
17
CiałoK,wktórym−1/∈ΣK∗2jnazywaćbędziemyciałemformalnie
rzeczywistym.Ciałouporządkowanejestzatemciałemformalnierzeczywi-
stym.Zauważmyjeszcze,żewarunek−1/∈ΣK∗2jestrównoważnywarun-
kowi0/∈ΣK∗2(zob.zadanie2).
Udowodnimyteraz,żeporządekwcielemożnazdefiniować,określając
zbiorelementówdodatnich.
Twierdzenie1.1.4.NiechKbędzieciałem,P⊆K∗orazniech
<P
będzierelacjąnaKzdefiniowanąnastępująco:a<Pb⇐⇒b−a∈P.
CiałoKwrazzrelacją<Pjestciałemuporządkowanymwtedyitylko
wtedy,gdyspełnionesąnastępującetrzywarunki:
(1)P+P⊆Pj
(2)P·P⊆Pj
(3)P∪−P=K∗.
Dowód.Koniecznośćwarunków(1)–(3)wynikazpoprzedniegolematu.
Załóżmyteraz,żespełnionesąwarunki(1)–(3).Jeślia∈P∩−P,to0=
a+(−a)∈P+P⊆P,cojestsprzeczneztym,żeP⊆K∗.Zatemzbiór
Kjestsumąrozłącznątrzechzbiorów:−Pj{0}orazP.Stądjeśliajb∈Kj
toa−b∈−Palboa−b=0jalboa−b∈Pjtzn.a<Pbalbo
a=bjalbob<Pa.Sprawdziliśmywarunektrichotomii.Przypuśćmyteraz,
żea<Pborazb<Pc.Wtedyc−a=(c−b)+(b−a)∈P+P⊆P,co
oznacza,żea<Pc.Relacja<Pjestwięcprzechodnia.Zajmijmysięteraz
sprawdzeniemzgodnościrelacji<Pzdziałaniamiwciele.Jeślia<Pbjto
a+c<Pb+cdladowolnegoc∈K,ponieważ(b+c)−(a+c)=b−a∈P.
Jeśliponadto0<Pcjtoac<Pbcjgdyżbc−ac=(b−a)c∈P·P⊆P.I
Zprzedstawionychdotychczasfaktówwynika,żeistniejeodpowiedniość
wzajemniejednoznacznamiędzyporządkamiliniowymiciałaKzgodnymi
zjegodziałaniamiapodzbioramiP⊆K∗spełniającymiwarunki(1),(2)
i(3)poprzedniegotwierdzenia.Dlategoteżbędziemyczęstoutożsamia-
lirelację<zwyznaczonymprzezniązbioremelementówdodatnichP
iterminporządekbędzieoznaczać,zależnieodkontekstu,jednolubdrugie
pojęcie.Oznaczenie(Kj<)będziemyteżczęstozastępowalioznaczeniem
(KjP).
Uwagi1.1.5.Analizującwłasnościporządkuciała,uczynićmożemydwie
następująceobserwacje:
1.Przypuśćmy,żePorazP/sąporządkamiciałaKiP⊆P/.PonieważP
orazP/sąpodgrupamigrupyK∗oindeksierównym2,więcP=P/.
