Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
Rozdział1.Probabilistycznemetodyklasyfikacyjne
Dotychczasowerozważaniauogólnimynaprzypadek,gdyYmożeprzyj-
mowaćwięcejniżdwiewartości.
Definicja1.4.
Załóżmy,żeY∈Y={1,
...,K}.Klasyfikatorpostaci
dB(x)=argmax
k
P(Y=k|X=x)=argmax
k
πkfk(x)
nazywamyklasyfikatorembayesowskim,gdzie
P(Y=k|X=x)=
K
πkfk(x)
,
Σ
i=1
πifi(x)
πi=P(Y=ź),
fi(x)=f(x|Y=ź)
(1.11)
(1.12)
orazargmaxkoznaczatęwartośćk,któramaksymalizujedanewyrażenie.
TWIERDZENIE1.2.
KlasyfikatorbayesowskidBdanywzorem(1.12)jestoptymalny,tj.jeżeli
djestjakimkolwiekinnymklasyfikatorem,toe(dB)≤e(d),gdziee(d)jest
rzeczywistympoziomembłęduklasyfikatoraddanymwzorem(1.5).Ponadto
e(dB)=1−∫
Rp
1≤j≤K
max
[fj(x)πj]dx.
(1.13)
Dowód.NiechΩi={x∈X:d(x)=ź},ź=1,2,
...,K.
Mamy
K
P(d(X)=Y)=
Σ
P(d(X)=j|Y=j)πj=
j=1
=
Σ
j=1
K
∫
Ωj
fj(x)πjdx=
=∫
Rp
∫
L
Σ
j=1
K
I(d(x)=j)fj(x)πj
∫
dx,
gdzieI(A)jestindykatoremzdarzeniaA.
