Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
WłodzimierzSzkutnik
Dyskretyzacjastochastycznatychrównańwymaga,abyprzestrzeńpro-
babilistycznabędącaopisemlosowegorozkładuwartościaktywówbyłagenero-
wana
przezskończonyzbiórzdarzeń
elementarnychΩ,przeliczalną
rodzinęzdarzeńlosowychodpowiadającychborelowskiejalgebrzezdarzeń
F=FN,N∈C+−zbiórcałkowitychliczbdodatnich.Wprowadzenieozna-
czeniadlasumpierwszychnwyrazów(stochastycznych)ciągów(pπ)π∈Z
+
i(rπ)π∈Z
+
Tπ=∑
π
k=0
rk,
W
π=∑
π
k=0
pk
pozwalasprowadzićrównaniamodelurynkudyskretnegodopostacistochas-
tycznieekspotencjalnej:
Bπ=B0∙ℇπ(T),Sπ=S0∙ℇπ(W)
(1)
Przytakimopisierynkuzakładasię,żeFπ=σ{S0,…,Sπ},tj.Fπjest
minimalnąσ-algebrą,względemktórejmierzalnesązdarzeniaS0,…,Sπ.
Rynekokreślonywrównaniach(1)nazywanyjestpowszechnie(B,S)-ryn-
kiem.Wdalszejczęścidlazapobieżenianiepotrzebnymtechnicznymtrudnoś-
ciomwywodybędąprowadzonedlaprzypadkujednowymiarowegoSπ,iwtym
wypadku,jakwynikazeznanychzliteraturywyników,najbardziejtreściwym
modelem(zupełnym)(B,S)-rynkujestdwumianowymodel,jednakwielewy-
nikówjesttakżeadekwatnychwwielowymiarowymwariancie.Okazujesiętak-
że,żemożnauzyskaćogólnymodel(B,S)-rynkuzakładająctylkododatniąwar-
tośćcenaktywówBiS.Wtymwypadkupojawiasięmultiplikatywnaforma
dlaBiS,któraznowuprowadzidorozpatrywanegotutajmodelu(1).
Wanalizieinwestycjikapitałowychstosowanejestpojęcietzw.inwestycyj-
nejstrategii,przezktórąrozumianyjeststochastycznydwuwymiarowyciąg
π=(ππ(π,π))π∈Z
+.Elementyπ∈FN,π∈FN-1tegociąguinterpreto-
wanesąjakoliczbyaktywówbezryzykownychBizryzykiemSwmomencie
czasun∈Z+.Ponadtoistotnejesttakżepojęcie„kapitału”portfelaπ,którym
wmyślprzyjmowanegookreśleniajeststochastycznyciągXπ=(Xπ
π)π∈Z
+,
gdzieXπ
π=π∙Bπ+π∙Sπ.
Napodstawietychpojęćmożnawprowadzićklasęsamofinansującychsię
portfeli,przezktórąbędziemyrozumiećklasęportfeliπoznaczanąprzezSF,
spełniającąwarunek:
Bπ-1∙∆π+Sπ-1∙∆π=0
(2)
