Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.10.Strumieńidywergencjapolawektorowego
Wydawaćsięmożedziwne,żedoobliczeniacałkiobjętościowejzdivA
wystarczyznaćzachowaniesięAtylkonabrzeguS.Możnatojednakuzasadnić
następująco:obydwiecałkiokreślająwydajnośćźródełpolaAznajdującychsię
wobszarzeυ,różnyjesttylkosposóbobliczaniatejwydajności.Całkaobjętościo-
wazdivA„zlicza”wszystkieźródłaznajdującesięwewnątrzobszaruυ.Naogół
znajdująsiętamźródładodatnieiujemne,więcczęśćznichznosisięwzajemnie.
Jeśliinteresujenastylkosumarycznawydajnośćźródeł,aichrozkładwewnątrz
obszaruυjestdlanasnieistotny,towystarczyuwzględnićtylkoteźródła,którenie
znosząsięwzajemnie.Towłaśnieczynicałkapowierzchniowa,tzn.„zlicza”tylko
teźródła,któredająwkładdopolanapowierzchnirozpatrywanegoobszaru.
Jeślipolejestpolembezźródłowym,todivA=0istrumieńprzezpowierzchnię
zamkniętąjestrównyzeru.Odwrotnetwierdzenieniejestnaogółprawdziwe–
ztego,żestrumieńprzezpewnąpowierzchnięzamkniętąjestrównyzeruniewyni-
ka,żedivA=0–możesiębowiemzdarzyć,żewobszarzeυznajdujesiętakasama
liczbaźródełdodatnichiujemnych,któresięwzajemnieznoszą.Jeżelinatomiast
strumieńprzezkażdąpowierzchnięzamkniętąjestrównyzeru,todivA=0.
Przykład1.13.Obliczstrumieńwektorawodzącegorprzezpowierzchniękuliośrodku
wpoczątkuukładuwspółrzędnychipromieniuR.Obliczeniawykonajdwomasposobami:
bezpośredniozewzorunastrumieńorazkorzystającztwierdzeniaG-O.
Rozwiązanie.Sposób1(bezpośredni):wewspółrzędnychsferycznychr=r1r,ponadto
dlapowierzchnikulidS=dSr–wzór(1.19a),ar=R,zatem
π
2
π
Φ
=
∫∫
r
⋅
d
S
=
∫∫
r
1
r
⋅
d
S
r
=
∫∫
r
⋅
r
2
sin
θ
d
θ
d
φ
=
S
S
0
0
π
2
π
=
R
3
∫
sin
θ
d
θ
∫
d
φ
=
R
3
⋅
[
−
cos
θ
]
π
0
⋅
2
π
=
4
π
R
3
0
0
Sposób2(ztwierdzeniaG-O):korzystajączwynikówprzykładu1.11,dostajemy
Φ
=
S
∫∫
(
υ
)
r
⋅
d
S
=
υ
div
r
d
υ
=
υ
3
d
υ
=
3
d
υ
=
3
υ
=
3
⋅
4
π
R
3
=
4
π
R
3
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
3
υ
Przykład1.14.WyznaczdywergencjępolaA=1rr
–2(układsferyczny).
Rozwiązanie.Stosującwzór(1.85i),otrzymujemy
∇
⋅
A
=
r
1
2
∂
∂
r
(
|
k
r
2
r
1
2
N
|
)
=
r
1
2
∂
∂
r
(
1
)
=
0
(a)
Jesttojednakwynikbłędny!Błądwynikaztego,żeróżniczkujemypoleAwotoczeniu
punktur=0,atamjestononieróżniczkowalne,ponieważfunkcjar
–2jestnieciągła
wpunkcier=0.Ściślej,wyniktenjestpoprawny,oiler≠0.Abyuzyskaćwynikdlar=0,
skorzystajmyztwierdzeniaG-O.WtymceluotoczmypunktOsferąSopromieniuR
iśrodkuwtympunkcie,wtedyobszarυograniczonypowierzchniąSbędziekulą.
Uwzględniającfakt,żeelementróżniczkowypowierzchnisferydS=1rdS,otrzymujemy
∫∫∫
υ
∇
⋅
A
d
υ
=
∫∫
S
A
⋅
d
S
=
∫∫
S
r
1
2
1
r
⋅
1
r
d
S
=
R
1
2
∫∫
S
d
S
=
R
1
2
4
π
R
2
=
4
π
(b)
47
