Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Rachunekianalizawektorowa
∇
⋅
r
=
∂
∂
x
x
+
∂
∂
y
y
+
∂
∂
z
z
=
3
awprzypadku2Dr=1xx+1yy,więc
∇
⋅
r
=
∂
∂
x
x
+
∂
∂
y
y
+
∂
∂
0
z
=
2
Przykład1.12.ZbadajźródłowośćpolawektorowegoA(x,y)=1xx
2+1
yy
2.
Rozwiązanie.Wyznaczamydywergencjępola
∇
⋅A
=
∂
∂
x
x
2
+
∂
∂
y
y
2
=
2
x
+
2
y
Polejestbezźródłowe,gdy
∇
⋅
A
=
0
⇒
2
x
+
2
y
=
0
⇒
y
=
−
x
Polemadodatniąźródłowość,gdy
∇
⋅
A
>
0
⇒
2
x
+
2
y
>
0
⇒
y
>
−
x
aujemną,gdy
∇
⋅
A
<
0
⇒
2
x
+
2
y
<
0
⇒
y
<
−
x
PoleAwrazzjegoobszaramiźródłowościjestpokazanenarysunku1.27.
a)
-2
-1
-1
-2
2
1
y
1
2
x
-1
-2
2
1
0
-2
-1
“ÿA<0
“ÿA=0
0
y
“ÿA>0
1
2
x
Rys.1.27.ObrazpolaA(a)orazjegoźródłowości(b)–zaznaczonoobszaryododatniej,ujemnej
izerowejźródłowości(jaśniejszyodcieńszarościodpowiadawiększejźródłowości)
b)
1.10.3.TwierdzenieGaussa-Ostrogradskiego
Bezpośredniozdefinicjidywergencji(1.82)wynikazależnośćzwanatwierdzeniem
Gaussa-Ostrogradskiego(G-O);przekształcaonacałkępowierzchniowąnacałkę
objętościowąiodwrotniewedługwzoru
S
∫∫
(
υ
)
A
⋅
d
S
=
υ
div
A
d
υ
∫∫∫
gdzieS(υ)jestpowierzchniązamkniętąobejmującąobszartrójwymiarowyυ.
46
(1.86)
