Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WYKŁAD15
zachodząceoraznajprostszewłasnościciał,októrychpowiadamianasdo-
świadczenie.Np.wdziedziniedostępnejnaszemudoświadczeniudostrzega-
my(mniejlubwięcejdokładnie)fakt,żedwieniciprzystajądosiebie,jeżelije
naciągniemy,ująwszyrazemichkońce;namocytegodoświadczeniawypowia-
damy,jakoprawdęogólnąibezwzględnieścisłą,żeprostajestwyznaczona
przezkażdedwaswojepunkty.Wprowadzającistotęidealną:„prostą”,usu-
wamyniedokładności,związaneznaszymispostrzeżeniami,dotycząceminici,
azarazemnadajemytemuzdaniuogólność,którejniemogłyposiadaćnasze
spostrzeżenia.
Kombinującwrozmaitysposóbfigurypodstawowe(np.łączącjelubroz-
wijającichspólneczęściit.p.)tworzymyfigurycorazbardziejzłożone,
któreokreślamyzapomocąfigurpodstawowych,objaśniając,wjakisposób
figuryzłożonepowstajązpodstawowych.Taksamozwiązkizłożone,zacho-
dzącemiędzytemifigurami,określamyzapomocązwiązkówpodstawowych
prostych.Trójkątnp.określamyzapomocąpunktówiodcinków;równość
trójkątówokreślamyzapomocąodcinkówikątów,it.p.
Uwaga.Zokreślenialogicznegoniezawszewynikamożliwośćtakiejkombi-
nacjielementówpodstawowych,ojakiejmowawokreśleniu.Toteżwprzy-
padkachwątpliwychmusimyustalićmożliwośćtejkombinacji,czyliistnienie
figurylubwłasności,którąokreślamy.Ustalićistnieniefigurymożemybądź
zapomocądoświadczenia(awięcwypowiadającodpowiednipewnik),bądź
teżzapomocąrozumowania.
Jeżeliłączymydwiejakieśfigury,np.dwakoławjednejpłaszczyźnieleżące,
otrzymujemynowąfigurę,którąmożemyokreślićjakozespółtamtychdwu.
Natomiastfiguraokreślonajako„spólnaczęśćdwóchkół”niezawszeistnieje,
gdyżdwakołamogąniemiećanijednegopunktuspólnego.Wypadnietedy
wkażdymposzczególnymprzypadkuustalićistnienietakiejfigury.
Mówiliśmy,żezwłasnościpodstawowychfigurlubzinnychwłasności,okre-
ślonychzaichpomocą,wysnuwamywłasnościbardziejzłożone,atoza
pomocąrozumowania,opartegonapewnikach(postulatach).
Wtensposóbdowodzimytychwłasności,czyliwykazujemy,żeichprawdzi-
wośćwynikakonieczniezprawdziwościpostulatów,którąznówpoznaliśmy
zapomocądoświadczenia.
Dowiedzionewtensposóbwłasnościgieometrycznenazywamytwierdze-
niami.Abydowieśćtwierdzenia,wystarczywykazać,żejestonowynikiem
logicznyminnego,znanegojużtwierdzenia.Wtensposóbnawiązujemykażde
twierdzenie,pośredniolubbezpośrednio,dopewników(postulatów).
Najbardziejbezpośrednieinajoczywistszewynikitwierdzenianazywamy
wnioskamiztegotwierdzeniapłynącemi.
Zdarzasię,żejakieśtwierdzenieniemasamoprzezsięwielkiegoznacze-
nia,musimyjejednakdowieśćwtymcelu,bynanimoprzećdowódinnego,
ważnegotwierdzenia.Wtakimrazietopierwszetwierdzenienazywamytwier-
dzeniempomocniczymlublematem.
Zazwyczajułatwiamyzrozumieniedowodutwierdzenia,jeżelidodajemydo
niegorysunek,wyobrażającyfigurę,októrejmowawtwierdzeniu.Częstoteż
bywaużytecznymzbudowaniemodelu,naktórymmożemyuwidocznićlub
sprawdzićdoświadczalniewłasności,którychistnienieustalamynadrodze
logicznegorozumowania.
Spostrzeżenia,dokonanenarysunkulubnamodelu,mogąnasunąćnamprzy-
puszczenie,żeistniejąnowe,nieznanedotądwłasnościdanejfigury.Wten
12
