Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Jeżelizałożymy9żezakupisprzedażwybranegowalorusąmożliwebez
ograniczeń9todecyzjainwestoradotyczącawielkościzakupuξsprowadzasię
dorozwiązaniaproblemumaksymalizacjifunkcjiużyteczności(I.23)zgodnie
zzapisem(I.26):
max
{
ξ
}
{
U
[
c
t
(
ξ
)9
c
t
+
1
(
ξ
)]
=
u
[
c
t
(
ξ
)]
+
E
t
{
β
u
[
c
t
+
1
(
ξ
)]}}
.
(I.26)
Powyższe
stwierdzenie
wynika
również
z
faktu9
że
funkcja
U
[
c
t
(
ξ
)9
c
t
+
1
(
ξ
)]
jestfunkcjąwklęsłą9więcjejpierwszapochodnaposiada
maksimum.Warunkiemwystarczającymwystępowaniaekstremumfunkcjijest
zerowaniesięjejpierwszejpochodnej:
{
u
[
c
t
(
ξ
)]
+
E
t
{
β
u
[
c
t
+
1
(
ξ
)]}}'
=
u
'
[
c
t
(
ξ
)]
+
E
t
{
β
u
'
[
c
t
+
1
(
ξ
)]}
=
0
9
przyuwzględnieniuzależnościdotyczącychfunkcjizłożonej:
u
'
[
c
t
(
ξ
)]
=
c
t
'
(
ξ
)
u
'
(
c
t
)
9
u
'
[
c
t
+
1
(
ξ
)]
=
c
t
+
1
'
(
ξ
)
u
'
(
c
t
+
1
)
oraz
c
t
'
(
ξ
)
=
−
p
t
9
c
t
+
1
'
(
ξ
)
=
x
t
+
1
9
wobecczegorównanie(I.27)zapisaćmożnanastępująco:
p
t
u
'
(
c
t
)
=
E
t
[
β
u
'
(
c
t
+
1
)
x
t
+
1
]
lub
p
t
=
E
t
⎡
⎢
⎣
β
u
u
'
(
'
(
c
c
t
+
t
1
)
)
x
t
+
1
⎤
⎥
⎦
.
(I.27)
(I.28)
(I.29)
(I.30)
(I.31)
(I.32)
(I.33)
Porównującstronamirównania(I.1)i(I.33)9otrzymujemyzależność
(I.34)definiującąSDF:
m
t
+
1
≡
β
u
u
'
(
'
(
c
c
t
+
t
1
)
)
.
(I.34)
36
