Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
MagdalenaChrapek,MichałStachura,BarbaraWodecka
kordowyzaproponowanyw1995r.przezBerreda.Estymatortennawiązuje
bezpośredniodoestymatoraPickandsa(por.m.in.[25],[21]i[4])danegowzo-
rem:
γ
ˆ
n
P
,
k
=
(ln
2
)
-
1
ln
⎛
⎜
⎜
⎝
X
X
n
n
-
-
2
k
k
+
+
1
1
,
n
,
n
-
-
X
X
n
n
-
-
2
4
k
k
+
+
1
1
,
n
,
n
⎞
⎟
⎟
⎠
(6)
gdzie1≤k≤
[n
/
4
]
*,a
X
1
,
n
≤
X
2
,
n
≤...≤
X
n
,
n
oznaczająstatystykipo-
zycyjnezciągu
X
1
,
X
2
,
...,
X
n
.
KonstrukcjaestymatoraBerredazasadzasięnapomyślepolegającymna
zastąpieniustatystykpozycyjnychk-tymiwartościamirekordowymi,których
definicjapochodziz1976r.odDziubdzieliiKopocińskiego(por.[9])iuogólnia
wcześniejrozważanepojęcierekordów(por.[1;5;23]).Mianowicie,dlaustalo-
nego
kIN
∈
+,k-tewartościrekordowe
X
(
k
)
(
n
)
określonesąrekurencyjnie
wespółzk-tymiczasamirekordowymi
L
(k
n
,
)
zapomocąnastępującegoukładu
równań:
L
(
1
,
k
)
=
k
dla
n
=
1
(7a)
L
(
n
,
k
)
=
min
{
j
>
L
(
n
-
1
,
k
)
:
X
j
>
X
L
(
n
-
1
,
k
)
-
k
+
1
,
L
(
n
-
1
,
k
)
}
dla
n
>
1
(7b)
X
(
k
)
(
n
)
=
X
L
(
n
,
k
)
-
k
+
1
,
L
(
n
,
k
)
dla
n
≥
1
Wobecpowyższegoestymatork-to-rekordowywyrażonyjestwzorem:
γ
ˆ
n
B
,
k
=
ln
⎛
⎜
⎜
⎝
X
(
X
k
)
(
(
k
n
)
(
-
n
k
)
)
-
-
X
X
(
k
(
k
)
(
)
n
(
n
-
-
k
)
2
k
)
⎞
⎟
⎟
⎠
(8)
(9)
wktórymk=
kjestfunkcjąliczbyk-tychwartościrekordowych(por.np.
n
[26]).
Takzdefiniowanyestymatork-to-rekordowycharakteryzujesięasympto-
tycznąnormalnością,acowięcej,jestonzgodnynietylkowsłabym,ale
iwmocnymsensie,oiletylko
k
n
/
ln
n
→
+∞
oraz
k
n
/→
n
0
(przy
n
→
+∞
).
Możliwościdokonywaniaodpowiedniegowyboruciągu
kbadaliwswo-
n
ichpracachm.in.BerredorazElArrouchi,Imlahi(por.[4]i[2]).Prostymiza-
stosowanymwdalszejczęściopracowaniarozwiązaniem,gwarantującympo-
wyższewłasnościgraniczneestymatora
γ
ˆ
n,
B
k
jestprzyjęcieciągurzędów
wartościrekordowychpostaci
k=
n
[
n
λ
]
dladowolniewybranejstałej
λ
∈
(
0
,
1
)
**.
*[x]oznaczaczęśćcałkowitąliczbyx.
**Zpunktuwidzeniaprezentowanejwdalszejczęściopracowaniaproceduryestymacjiniejestistotne,czy
zaokrąglasięwgóręczywdół.
