Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
m
∀
∈
N
n
∀
∈
N
mn
≥
0
.
Inthesecondcasewecanuseanyofthefollowingnotations:
m
∈
∀
N
,
n
∈
N
mn
≥
0
,
m
∀
n
∈
∈
N
N
mn
≥
0
.
Asbothnumbersarefromthesameset,wecanalsousethesimplifiednotation:
m
∀
,
n
∈
N
mn
≥
0
.
Example3
Checkwhetherthegivenstatementistrue.Ifnot,saveitsnegationusingDe
Morgan’slaws.
x
∃
∈
N
∀
y
∈
R
x
+
y
>
0
.
Solution
Thissentencesaysthatthereisanaturalnumberxsuchthataftersummingup
withanyrealnumberywegetalwaysapositivenumber.Soitisnottrue,
becauseregardlessofthechoiceofx,itissufficienttotakey=–xtoobtain
x+y=x+(–x)=0.Letusconstructthenegationthen:
¬
x
∃
∈
N
∀
y
∈
R
x
+
y
>
0
.
LetusapplyDeMorgan’slawtothefirstquantifier.Asaresultofitsuse,the
existentialquantifierturnsintothegeneraloneandthesymbolofnegation
movestotheright.Weobtainthefollowingformoftheexpression:
∀
x
∈
N
¬
∀
y
∈
R
x
+
y
>
0
.
NowweapplyDeMorgan’slawtothesecondquantifier.Itsusemakesthe
universalquantifierturnsintotheexistentialone,andthesymbolofnegation
movesfurthertotheright.Weget:
18
