Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Metodydowodzeniatwierdzeń
Uwaga.wskrypcietymbędziemyużywaćnastępującychoznaczeńdlazbio~
rówliczbowych:
BŹzbiórcyfrbinarnych(B={0,1});
NŹzbiórliczbnaturalnych;
NoŹzbiórliczbcałkowitychnieujemnych{0,1,2,3,...}(No=N∪{0});
ZŹzbiórliczbcałkowitych;
RŹzbiórliczbrzeczywistych.
Przykońcuskryptu(strona161)znajdujesięwykazużywanychoznaczeń.
1.1.Metodydowoduimplikacji
Przypomnijmy,iżimplikacjap⇒qjestfałszywawtedyitylkowtedy,gdy
jejpoprzednikpjestprawdziwy,anastępnikqjestfałszywy;wpozosta~
łychtrzechprzypadkachimplikacjajestzdaniemprawdziwym.Omówimy
trzypodstawowemetodydowoduprawdziwościimplikacjip⇒q,któreczę~
stobędąwykorzystywanewdalszejczęścipodręcznika,mianowiciemetodę
dowoduwprost,dowoduniewprostidowoduprzezzaprzeczenie.
Dowódwprost
Jaksamanazwawskazuje,metodadowoduwprostpoleganazałożeniu,że
pjestprawdąipokazaniu,żewówczasqjestprawdą.
Przykład1.1.Udowodnićwprost?żejeżeliajesttakąliczbącałkowitą?że
a−4jestpodzielneprzez5?toa3+1jestpodzielneprzez5.
Rozwiązanie.Jeżelia−4jestpodzielneprzez5(zdaniep),toistniejetaka
liczbacałkowitak,żea−4=5k.Stądmożemywywnioskować,że
a+1=(a−4)+5=5(k+1),
awięc
a3+1=(a+1)(a2−a+1)=5(k+1)(a2−a+1),
czylia3+1jestteżpodzielneprzez5(zdanieq).
Przykład1.2.Udowodnićwprost?żejeżelixjesttakąliczbąrzeczywistą?
żex2−3x−10=0?tox=−2lubx=5.
Rozwiązanie.Ponieważ
x2−3x−10=(x−5)(x+2),
więczfaktu,żelewastronatejrównościjestrównazeruwynika,żexspełnia
(x−5)(x+2)=0.Tooczywiściepociągazasobą,żexjesttakąliczbą,że
x−5=0lubx+2=0,czylix=5lubx=−2.
