Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
Rys.18.13.Ilustracjasposobuwyborudodatnie-
gokierunkuprzebieganiabrzeguobszaruniejedno-
spójnego.Obszarograniczonykrzywązawszele-
żypolewejstroniewzględemdodatniegokierunku
przebieganiabrzegu
Rys.18.14.Rysunekpomocniczydodowoduwzo-
ru(3.8)
dardowymdowodziekorzystamyztwierdzeniaGreenanapłaszczyźnie(wzór(2.15)
zrozdziału7).Najpierwzapiszemy(wzór(3.6))
f
f(z)dz=f
(udx–vdy)+if
(udy+vdx).
(3.8)
C
C
C
Dlaprzypomnienia:ztwierdzeniaGreenanapłaszczyźniewiemy,żejeżeliP(x,y)
iQ(x,y)sąciągłeimająciągłepochodnecząstkowewpewnymobszarzeRorazna
jegobrzeguC,to
f
(Pdx+Qdy)=∫∫
∂Q
∂x
–
∂P
∂ydxdy.
C
R
Gdyzastosujemytenwynikdowzoru(3.8),zP=u+iviQ=–v+iu,okażesię,że
f
f(z)dz=∫∫
–
∂x
∂v
+
∂u
∂y+i
∂u
∂x
–
∂v
∂ydxdy.
(3.9)
C
R
Funkcjaf(z)jestanalitycznawobszarzeRinakrzywejC,spełniawięcrównania
Cauchy–Riemanna,cooznacza,żeprawastronarównania(3.9)znikaitymsamymte-
zatwierdzeniajestudowodniona.ZastosowanietwierdzeniaGreenajestmożliwepod
warunkiem,żefunkcjaf,(z)jestciągła.DowódprzytymzałożeniupodałCauchywro-
ku1825.Ponad50latpóźniejGoursatwykazał,żezałożenieciągłościf,(z)jestnie-
potrzebne.
NatychmiastowymwnioskiemztwierdzeniaCauchy–Goursatajestto,żejeżelidwie
krzyweC1iC2wobszarzeRsąkawałkamigładkie,niemająsamoprzecięćimająten
sampunktpoczątkowyikońcowy,to
C1
∫
f(z)dz=∫
C2
f(z)dz.
(3.10)
Abytoudowodnić,wybierzmydowolnedwapunktyaibnakrzywejzamkniętej,roz-
