Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.3.CAŁKOWANIEFUNKCJIZESPOLONYCH.TWIERDZENIECAUCHY’EGO
17
Rys.18.8.Dwaróżnekontury,poktórychcałkujemyfunkcję
f(z)=cosz
WzdłużpierwszejczęścikonturuAzrysunku18.8mamydy=0iy=–a,
awzdłużdrugiejczęści—dx=0ix=a,zatem
a
a
∫
coszdz=cosha
∫
cosxdx+isinha
∫
sinxdx
A
–a
–a
a
a
+sina
∫
sinhydy+icosa
∫
coshydy
–a
–a
=2sinacosha+2icosasinha=2sina(1+i).
WzdłużpierwszejczęścikonturuBdx=0ix=–a,awzdłużdrugiejdy=0iy=a,
więc
a
a
∫
coszdz=–sina
∫
sinhydy+icosa
∫
coshydy
B
–a
–a
a
a
+cosha
∫
cosxdx–isinha
∫
sinxdx
–a
–a
=2icosasinha+2coshasina=2sina(1+i).
Zauważcie,żewobuprzypadkachotrzymaliśmytensamwynik.Okazujesię,żetensam
wynikotrzymalibyśmydladowolnegokonturułączącegopunkty(–a,–a)i(a,a).Co
więcej,jeżeliskorzystamyztego,żedsinz/dz=cosz,zauważymy,że
(a,a)
∫
coszdz=
∫
coszdz=[sinz]z=a+ia
z=–a–ia=2sina(1+i),
C
(–a,–a)
zgodniezwynikami,jakieotrzymaliśmycałkującpokonturachAiB.Możemywięc
scałkowaćfunkcjęf(z)=coszpomiędzydwomapunktamipłaszczyznyzespolonej,
korzystającjedynieztego,żesinzjestfunkcjąpierwotnąfunkcjicosz.
