Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
PRZYKŁAD2
Obliczmy∫Cf(z)dz,gdzief(z)=z
n,akonturCjestokręgiemjednostkowymośrodku
wz=0.
Rozwiązanie:Zmiennązmożemyprzedstawićwpostacibiegunowej(z=ei9)izapisać
2π
f
f(z)dz=i
∫
e
i(n+1)9d9=0n/=–1
2πi
n=–1
.
C
0
Wartozapamiętaćtenwynik,gdyżbędziemyzniegowprzyszłościwielokrotniekorzystać.Za-
uważcie,żepiszącfCf(z)dzpodkreśliliśmy,żeobliczamycałkępokrzywejzamkniętej.
Innąwygodnąmetodąobliczaniacałekkonturowychjestwyrażeniecałki∫
Cf(z)dz
zapomocącałekkrzywoliniowychzfunkcjirzeczywistych.Możemyprzyjąćf(z)=
u(x,y)+iv(x,y);jakożedz=dx+idy,mamy:
∫
f(z)dz=∫
(udx–vdy)+i∫
(vdx+udy).
C
C
C
PRZYKŁAD3
(3.6)
Obliczmy∫Cf(z)dzodz=(0,0)doz=(2,4),gdzief(z)=x
2–iy2,aCjestparabolą
opisanąwzoremy=x2.
Rozwiązanie:Korzystajączewzoru(3.6),możemynapisać
∫
f(z)dz=∫
(x2dx+y2dy)+i∫
(–y2dx+x2dy)
C
C
C
2
2
=
∫
(x2dx+2x5dx)+i
∫
(–x4dx+2x3dx)=24+
8i
5
.
0
0
Gdybyśmyobliczylicałkęzprzykładu3poodcinkułączącympunkty(0,0)i(2,4)
(awięcodcinkuprostejy=2x),otrzymalibyśmy24–16i/3(zadanie13),awięcwar-
tośćcałkizależyodwyborukonturułączącegopunkty(0,0)i(2,4).Niezawszetak
jest.Przyjrzyjmysięcałcezfunkcjif(z)=coszpodwóchkonturachzaznaczonychna
rysunku18.8.Napoczątekzapiszmyf(z)wpostaci
cosz=cosxcoshy–isinxsinhy=u(x,y)+iv(x,y).
Korzystajączrównania(3.6),otrzymujemy
∫
coszdz=∫
(cosxcoshydx+sinxsinhydy)
C
C
+i∫
(–sinxsinhydx+cosxcoshydy).
C
