Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Mówimy,żefunkcjaf:G→Rjestciągła(ciągłanazbiorzeG),jeślijest
ciągławkażdympunkciezbioruG.
Własność1.6
i)Suma,różnica,iloczynoraziloraz(przyzałożeniu,żefunkcjawmianowni-
kunieprzyjmujewartościzero)orazzłożeniefunkcjiciągłychjestfunkcją
ciągłą.
ii)Funkcjeeklementarnesąciągłe.Dokładniej:wielomiany,funkcjewymier-
ne,funkcjetrygonometryczne,funkcjewykładniczeilogarytmiczne,funkcje
potęgoweorazfunkcjepierwiastkowesąfunkcjamiciągłymi.
Ćwiczenie1.10.Znaleźć,oiletomożliwe,parametryaibtakie,abyfunkcja
(
ln(x2+1)−exdlax∈(−∞j0)
f(x)=
4
l
x2+x+adlax∈[0j2)
bcos(x−2)dlax∈[2j∞)
byłafunkcjąciągłą.
Rozwiązanie.Zauważmy,żefunkcjafjakosuma,różnicaizłożeniefunkcji
xl→x2+1jxl→lnxjxl→exjxl→x2+x+ajxl→x−2jxl→cosx
jest,namocywłasności1.6,funkcjąciągłąnazbiorze(−∞j0)∪(0j2)∪(2j∞).
Wystarczysprawdzićciągłośćfunkcjifwpunktachxo=0ix1=2.Zciągłości
funkcjikwadratowej,funkcjiliniowej,funkcjicosinus,funkcjieksponentifunkcji
logarytmicznejmamy
x→o1
lim
f(x)=lim
x→o1(ln(x2+1)−ex)=−1j
x→o+
lim
f(x)=lim
x→o+
(x
2+x+a)=aj
x→21
lim
f(x)=lim
x→21
(x
2+x+a)=6+a
oraz
x→2+
lim
f(x)=lim
x→2+
bcos(x−2)=bcos0=b.
Ponieważszukamyparametrówaibtakich,abyfunkcjafbyłafunkcjąciągłą,
powinnywięcbyćspełnionewarunki:
a=−1oraz6+a=b.
Stąda=−1ib=5.
I
