Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
17
Niezwykleważnaprzyobliczaniugranicjestrółnieżponiższawłasnośćciągło-
ścizłożeniadwóchfunkcji.
Własność1.5
Niechf:G→Rig:H→Rbędąfunkcjamitakimi,żef(G)⊂H.Jeślifunkcja
fjestciągławpunkciexo∈G,funkcjagzaśjestciągławpunkcief(xo)∈H,
tozłożenieg◦f:G→Rjestfunkcjąciągłąwpunkciexo.
Ćwiczenie1.9.Czyistniejeliczbarzeczywistaataka,żefunkcjafdanawzorem
f(x)={(x31π3
x1π)
a
2
dlax/=π
dlax=π
jestciągławpunkciexo=π?Odpowiedźuzasadnić.
Rozwiązanie.Najpierwwyznaczymygranicę,oileistnieje,funkcji
xl→
x3−π3
x−π
wpunkciexo=π.Korzystajączewzoruskróconegomnożenia
a
3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
orazzwłasności1.1mamy
x→π
lim
x3−π3
x−π
=lim
x→π
$$$
(x−π)(x2+xπ+π2)
$
$$$
x−π
=lim
x→π
(x
2+xπ+π2)=
=lim
x→π
x
2+lim
x→π
xπ+π2=3π2.
Stądfunkcja
g(x)={
x31π3
x1π
3π2dlax=π
dlax/=π
jest,namocydefinicji,ciągławpunkciexo=π.Analogiczniemożemypokazać,że
funkcjah(x)=x2jestfunkcjąciągłąwpunkcieg(xo)=3π2.Azatem,zwłasności
1.5,funkcjah◦gjestciągławpunkciexo=π.Oznaczato,że
x→π(x
lim
x−π)
3−π3
2
=(3π2)
2
=9π4.
Funkcjafjestwięcciągławpunkciexo=π,jeślilimx→πf(x)=f(π)=a,czyli
dla
a=9π4.
I
