Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1
GEOMETRIAELEMENTARNA/ELEMENTARYGEOMETRY
Podstawowefaktyikonstrukcjegeometriielementarnejprzedstawionesąw[1](Rozdział6).Tutajdodatkoweprzy-
kładyrozwijającewyobraźnięgeometrycznąioswajającezkonstrukcyjnymrozwiązywaniemproblemów,bezużycia
liczbdomierzeniaiporównywaniaodległości,kątówlubpólfigur.
Exercisesinthischaptercompletethesetoffactsandconstructionspresentedin[2](Chapter1).Theaimisalsoto
showthatitispossibletosolvegeometricalproblemswithoutexpressingdistances,anglesorareainnumbers,what
developsgeometricalimaginationandfamiliarizeswithsolutionsdonebydrawing.
1.1.Konstrukcjewielokątów
TRÓJKĄTY
Z.1.1.Wykreślićtrójkątodanychbokach.
DobrzeznanerozwiązanieprzypominarysunekR/F.1.1a.
Z.1.2.Wykreślićtrójkątodanymobwodziepidanej
proporcjiboków|AB|:|BC|:|AC|=x:y:z.
Najpierwdzielimypwżądanymstosunkukorzystającz
twierdzeniaTalesa,następniekonstruujemytrójkąttak,
jakwpoprzednimzadaniu(R/F.1.1b).
Z.1.3.Wykreślićtrójkątrównoramiennyodanymob-
wodziepiwysokościh(R/F.1.1c).
KonstruujemyśrodekDodcinkaPQ(|PQ|=p).Następnie
kreślimywysokośćAD.SymetralneodcinkówAPiAQ
wyznaczająodpowiedniowierzchołkiBiCtrójkąta.
Z.1.4.Wykreślićtrójkąt,jeślidanajestpodstawaAB
orazdwiewysokości(R/F.1.1d).
NaR/F.1.1ddanesąwysokościzwierzchołkówAiC.
PonieważBCjestprostopadłydoAD,dokonstrukcji
punktuDwykorzystujemyfakt,żekątwpisanywokrąg
opartynaśrednicyABjestprosty.PunktCleżynalrów-
noległejdoABodległejohCodpodstawy.
Jeślidanesąwysokości|AD|=hAi|BE|=hB,torów-
nieżtrójkątyprostokątneABDiABEsąkonstruowane
jakowpisanewpółokrągośrednicyAB.NaR/F.1.1e
otrzymanotrójkątABCostrokątny,natomiastnaR/F.1.1f
otrzymanytrójkątjestrozwartokątny.
CZWOROKĄTY
Z.1.5.Wykreślićprostokątodanymjednymbokuai
przekątnejd(R/F.1.2).
Żądanyprostokątjestskonstruowanyjakowpisanyw
okrągośrednicyrównejdanejprzekątnejd.
Z.1.6.Wykreślićrównoległobok,jeślidanyjestjeden
bokiobiewysokości.
RozwiązaniejestprzedstawionenaR/F.1.3-konstrukcja
wysokościjestpodobnadotejdlatrójkątanaR/F.1.1d.
Z.1.7.Wykreślićrombodanychprzekątnychmin.
Przekątnerombupołowiąsiępodkątemprostym,cojest
wykorzystanewkonstrukcjinaR/F.1.4.
1.1.Constructionsofpolygons
TRIANGLES
T.1.1.Drawatrianglegivenitssides.
FigureR/F.1.1aremindsofthewell-knownsolution.
T.1.2.Drawatrianglegiventheperimeterpandthe
ratioofsides|AB|:|BC|:|AC|=x:y:z.
Firsttheperimeterisdividedintherequiredratiousing
Tales’Theorem.Nextthetriangleisconstructedasinthe
previoustask(R/F.1.1b).
T.1.3.Drawanisoscelestrianglegivenitsperimeterp
andverticalheighth(R/F.1.1c).
DrawtheperimeterPQ(|PQ|=p)andbisectitatD.Draw
theverticalheightADandbisectAPandAQatrightan-
gles.DrawtherequiredtriangleABC.
T.1.4.DrawatrianglegivenitsbaseABanditstwo
heights(R/F.1.1d).
HeightshAandhCthroughAandCrespectivelyaregiven
inR/F.1.1d.AsBCisperpendiculartohA,thepointDis
foundusingthepropertyoftheangleinscribedinasemi-
circleofthediameterAB(itisright).ThevertexCislying
onthelineldistantfromABathC.
HeightshAandhBaregiveninR/F.1.1ethroughAand
Brespectively.TherighttrianglesABDandABEarecon-
structedasinscribedinasemicircle.Theobtainedtriangle
isacute-angled.FigureR/F.1.1fshowsanobtusetriangle
ABCconstructedinthesameway.
TETRAGONS
T.1.5.Drawarectanglegivenitsdiagonaldandone
sidea(R/F.1.2).
Therequiredrectangleisconstructedasinscribedinacir-
clewhosediameterisequaltothegivendiagonald.
T.1.6.Drawaparallelogramgivenitstwoheightsand
oneside.
ThesolutionisshowninR/F.1.3.Itissimilartothatofthe
triangleinR/F.1.1d.
T.1.7.Drawarhombusgivenitsdiagonalsmandn.
Therhombusdiagonalsbisectatarightangle,whatisused
intheconstructioninR/F.1.4.
12
