Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.Funkcjeolosowychargumentachiprocesylosowe
1.2.Parametryrozkładuzmiennejlosowej
Wdefiniowaniuparametrówrozkładuzmiennejlosowejistotnąrolęodgrywają
funkcjezmiennejlosowej.Pojawiasiępytanie:czyfunkcjazmiennejlosowej
jestzmiennąlosową?Dlaszerokiejklasyfunkcjiodpowiedźnatopytaniejest
pozytywna.
Definicja8.Funkcjęg:R→Rnazywamyfunkcjąborelowską,jeżelidla
dowolnegozbioruA∈B(R),
g11(A)={x∈R:g(x)∈A}∈B(R)
(1.14)
Twierdzenie4.JeżeliXjestrzeczywistązmiennąlosową,agjestfunkcją
borelowską,toY=g(X)jestzmiennąlosową.
Dowód:NiechAbędziezbioremborelowskim.Zdefinicjizmiennejlosowejoraz
definicjifunkcjiborelowskiejmamy
Y11(A)={ω:g(X(ω))∈A}={ω:X(ω)∈g11(A)}∈F
2
Dodajmy,żeklasafunkcjiborelowskichjestszeroka.Naprzykład,funkcje
ciągłewzbiorzeliczbrzeczywistychlubfunkcjeprzedziałamiciągłesąfunk-
cjamiborelowskimi.
NiechFbędziedystrybuantąrozkładuzmiennejlosowejX.
Definicja9.Liczbę
E[g(X)]=/
R
g(x)dF(x)
nazywamywartościąoczekiwanązmiennejlosowejY=g(X)oile
R
/
|g(x)|dF(x)<∞
(1.15)
cooznacza,żecałkaStieltjesadefiniującawartośćoczekiwanąjestzbieżna
bezwzględnie.DefinicjęcałkiStieltjesafunkcji
g
względemdystrybuanty
F(·)możnaznaleźćnp.wmonografii[20].Równość(1.15)dlazmiennej
losowejorozkładzietypuciągłegoogęstościf(·)przyjmujepostać
E[g(X)]=/
R
g(x)f(x)dx
(1.16)
natomiastdlarozkładudyskretnegop(·),skoncentrowanegowzbiorzeS
E[g(X)]=Σ
x∈S
g(x)p(x)
(1.17)
