Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Zmiennalosowaijejrozkład
31
Definicja3.FunkcjęPX:B(R)→Rokreślonąwzorem
PX(A)=P(X
11(A))
nazywamyrozkłademzmiennejlosowejX.
(1.2)
Nietrudnowykazać,żerozkładzmiennejlosowejjestmiarąprobabilistyczna,
(prawdopodobieństwem)wprzestrzenimierzalnej(R,B(R)).
Definicja4.FunkcjęFX:R→Rokreślonąwzorem
FX(x)=P(X
11((−∞,x]))
nazywamydystrybuantąrozkładuzmiennejlosowejX.
(1.3)
Korzystajączdefinicjidystrybuantyiwłasnościprawdopodobieństwamożna
udowodnićtwierdzenie[19],[26]:
Twierdzenie1.Jeżelifunkcja
FX
jestdystrybuantąrozkładuzmiennej
losowejX,to
1.FXjestfunkcjąniemalejącąwzbiorzeliczbrzeczywistychR,
2.FXjestfunkcjąprawostronnieciągłą,
3.FX(−∞)=lim
x→1∞
F(x)=0orazFX(∞)=lim
x→∞
FX(x)=1.
Prawdziwejestrównieżtwierdzenie:
Twierdzenie2.JeżelifunkcjaF:R→Rspełniawarunki1,2,3,tojest
dystrybuantąpewnegorozkładuprawdopodobieństwaPna(R,B(R)).
Zmiennąlosowądlaktórejtakafunkcja
F
jestdystrybuantą,można
określićwzoremX(ω)=ω,przyjmującΩ=R,F=B(R),PX=P,
FX=F.
Jeżeliniebędzietoprowadzićdonieporozumień,dystrybuantęzmiennej
losowejXzamiastsymbolemFX,będziemyoznaczaćliterąF.
Międzydystrybuantąarozkłademzmiennejlosowejzachodzązwiązki:
1.JeżeliA=(a,b],
toPX(A)=F(b)−F(a).
2.JeżeliA=(−∞,x],
toPX(A)=F(x).
3.JeżeliA={x},
toPX(A)=F(x)−lim
y→xl
F(y).
Zewzorówtychwynikająwnioski.
1.JeżelidystrybuantaFjestciągławpunkciex,toPX({x})=0.
2.Jeżelipunktxjestpunktemskokudystrybuanty,toPX({x})>0.
