Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
A.Acosta,W.Aziz,J.MatkowskiandN.Merentes
Bythedefinitionofthenorm"·"ψ,weobtain
pψ(H(f1)−H(f2))≤"H(f1)−H(f2)"ψforf1jf2∈RVł(IjC).
Hence,inviewofLemma1,
RVψ(H(f1)
ω("f1−f2"ł))≤1ifω("f1−f2"ł)>0.
−H(f2)
Therefore,bythedefinitionsofRVψ(·)andH,foranyf1jf2∈RVł(IjC)
andOjβ∈I,O<β,weget
w(|h(βjf1(β))−h(βjf2(β))−h(Ojf1(O))+h(Ojf2(O))|
ω(|f1−f2|)(β−O)
)≤1
β−O
j
whence,bytakingtheinversefunctionw11frombothsides,weobtain
(1)
|h(βjf1(β))−h(βjf2(β))−h(Ojf1(O))+h(Ojf2(O))|
≤ω(|f1−f2|)(β−O)w
11(1/(β−O)).
ForOjβ∈[Ijb],O<β,definethefunctionη0,;:R→[0j1]by
η0,;(t):1
(
I
I
4
I
I
l
0
1
β−O
t−O
ift≤O
ifO≤t≤β
ifβ≤t.
Letx1jx2∈Cjx1/1x2.Notethatthefunctionsf1jf2:I→Xgivenby
(2)
fj(t):1
1
2
[η0,;(t)(x1−x2)+xj+x2]jt∈Ijj11j2j
belongtoRVł(IjC),
f1(β)1x1j
f2(β)1
x1+x2
2
j
f1(O)1
x1+x2
2
j
f2(O)1x2j
and,since
f1(t)−f2(t)1
x1−x2
2
j
t∈Ij
wehave
"f1−f2"ł1
|x1−x2|
2
.
Substitutingthefunctionsf1jf2in(1),weobtain
(3)
|
|
|
|
h(βjx1)−h(βjx1
+x2
2
)−h(Ojx1
+x2
2
)+h(Ojx2)
|
|
|
|
≤ω(|x1
−x2|
2
)(β−O)w11(1/(β−O)).
