Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEMETRYCZNEZUPEŁNE
Odróżniliśmywięcdwieklasyprzestrzeni:dziuraweinniedziurawe”.Teostatnie
fachowonazywasięzupełnymi,tepierwsze–niezupełnymi(dokładniejsządefinicję
podamypotem).
1.2
Pierwiastki
Zprzestrzeniamizupełnymispotykaliśmysięjużwmatematycewielokrotnie,choć
byćmożeotymniewiedzieliśmy(takjakmolierowskipanJourdain,którywy-
krzyknąłnUlicha!Jużprzeszło40latmówięprozą,nicotymniewiedząc”).Nim
przedstawimyjedenztypowychprzykładów,zacznijmyodłatwejdodowiedzenia
indukcyjnienierównościBernouliego:
(x+1)n≥1+nxjgdziex≥−1jn≥1.
(1.1)
PokażemyzaLechemMaligrandą(zob.[22]ipracecytowanetamże;wcześniejpra-
wieidentycznydowódpodałBengtÅkerberg[2]),iż(1.1)implikujeważnąnierów-
nośćmiędzyśredniąarytmetycznąaśredniągeometryczną:3
√x1·x2···xn≤
n
x1+x2+···+xn
n
j
x1jx2j...jxn>0jn≥1.
(1.2)
NiechAn=
x1+x2+...+xn
n
.Mamy
An−1>0jwięcprzyjmującw(1.1)x=
An
An−1−1>−1jotrzymujemy
An
(
An11)
An
n
≥1+n(
An11
An
−1)=
nAn−(n−1)An11
An11
=
An11
xn
.
StądAn
n≥xnA
n11
n11.Topozwalajużudowodnić(1.2)indukcyjnie:dlan=1nierów-
nośćjestoczywista,azakładając,żenierównośćtazachodzidlan−1otrzymujemy
An
n≥xnA
n11
n11≥xnG
n11
n11=Gn
n,toznaczyAn≥Gn,gdzieGn=n
√x1·x2···xn.
Korzystającztejnierównościpokażemy,4żedlakażdejliczbydodatniejaikaż-
dejliczbynaturalnejnistniejetakaliczbabn,oznaczanan
√aizwanapierwiastkiem
n-tegostopniaza,żebn
n=a(jaksięprzekonać,żeliczbatakajesttylkojedna?).
Wtymcelurozważmyciąg(xn)n≥1danyregułąrekurencyjną
x1=aj
xk+1=
n((n−1)xk+
1
xn11
k
a
).
(1.3)
Wobecnierówności(1.2)mamy:
xn
k+1=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
(n11)czynników
f
xk+...+xk+I
/\
n
\
x
n−1
k
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
n
≥aj
⎝
⎠
3Innybardzosprytnydowód(1.2)sugerujeKazimierzKuratowskinastronie18klasycznego
podręcznika[17].
4ZaDanielemDanersem,UlmerSeminare2013,Heft18,ThreeLineProofs.
