Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1
GRANICA
ICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.1GRANICAFUNKCJI
1.1.1.Obliczyć(oileistnieją)następującegranice:
(a)lim
(c)lim
x→o
x→o
xcos
x
a[
x],a,b>0,
b
1
x
,
(b)lim
(d)lim
(f)lim
x→o
x→o
x→o
cos(
x[
[x]
x
sin(sinx)
,
x],
1
π
2
cosx)
.
(e)
x→+∞
lim
x(√x2+1−3
√x3+1),
1.1.2.Wykazać,żejeślif:(−a,a)\{0}→R,to
(a)lim
x→o
f(x)=g
⇐⇒
x→o
lim
f(sinx)=g,
(b)lim
x→o
f(x)=g
=⇒
x→o
lim
f(|x|)=g.
Czyimplikacjętęmożnazastąpićrównoważnością?
1.1.3.Załóżmy,żefunkcjaf:(−a,a)\{0}→(0,+∞)spełniawarunek
x→o(f(x)+
lim
f(x))=2.Wykazać,żelim
1
x→o
f(x)=1.
1.1.4.Załóżmy,żefunkcjafokreślonawpewnymotoczeniunakłutympunktua
spełniawaruneklim
x→a(f(x)+
|f(x)|)=0.Znaleźćgranicęlim
1
x→a
f(x).
1.1.5.Niechfbędziefunkcjąokreślonąiograniczonąnaprzedziale[0,1],speł-
niającąwarunekf(ax)=bf(x)dla0≤x≤1/a,gdziea,b>1sądanymi
liczbamirzeczywistymi.Wykazać,żelim
f(x)=f(0).
x→o+
1.1.6.Znaleźćnastępującegranice:
(a)lim
x→o
x2(1+2+3+...+[
|x|]),
1
(b)lim
x→o+
x([
x]+[
1
x]+...+[
2
k
x]),k∈N.
